Bài đăng

Tính đơn liên của $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$

Trong bài này, mình sẽ định nghĩa ngắn về nhóm cơ bản etale và chứng minh tính đơn liên của $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Lấy motivation từ lý thuyết nhóm cơ bản topo, nhóm cơ bản của một không gian chính là nhóm các biến đổi phủ (nếu tồn tại một phủ phổ dụng aka đơn liên) ta sẽ chuyển quan điểm này sang hình học đại số, không gian phủ biểu hiện giống như cấu xạ etale hữu hạn (finite etale). Tuy nhiên không giống như không gian topo thì không có nhiều lược đồ có phủ "phổ dụng", ví dụ $X  = \mathbf{A}^1_{\mathbb{C}}-\left \{0 \right \}$ có tất cả các phủ etale hữu hạn là $t \mapsto t^n$ và không có một phủ etale hữu hạn nào áp đảo hoàn toàn tất cả các cấu xạ này. Cho $X$ là một lược đồ Noether địa phương và liên thông, ta ký hiệu $FEt/X$ là phạm trù các $X$-lược đồ với cấu xạ cấu trúc là etale hữu hạn. Ký hiệu $\overline{x} \to X$ là một điểm hình học và xét hàm tử $$F_{\overline{x}}: FEt/X \to \mathrm{Set}, \ \ Y \mapsto \mathrm{Hom}_X(\overline{x},Y).$$ Một định lý, không dễ

Xuống thang Galois và định lý Hilbert 90

Trong blog này mình trình bày hai phiên bản của định lý Hilbert 90, một phiên bản cho đối đồng điều Galois và một phiên bản cho đối đồng điều etale. Trước tiên ta nhắc lại phiên bản cổ điển của định lý Hilbert 90 với mở rộng đơn sinh. Định lý 1 ( Hilbert 90 ). Cho $E/F$ là một mở rộng đơn sinh với nhóm Galois $G = \left \langle \sigma \right \rangle$, nếu $\mathrm{Nm}_{E/F}(\alpha)=1$ thì $\alpha = \beta/\sigma\beta$.  Ví dụ 2 . Mở rộng bậc hai $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ có nhóm Galois là $\mathbb{Z}/2$ với phần tử không tầm thường là liên hợp $\sigma: a+bi \mapsto a-bi$, chuẩn của một phần tử $a+bi$ là $a^2+b^2$. Như vậy một phần tử có chuẩn $1$ là nghiệm hữu tỷ của phương trình $a^2+b^2=1$. Định lý Hilbert 90 nói rằng tất cả các nghiệm như vậy có dạng   $$\frac{c+di}{c-di} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2} + \frac{2cd}{c^2+d^2}i.$$ Ở đây chúng ta muốn phát biểu lại dưới ngôn ngữ đối đồng điều  Định lý 3 (Hilbert 90) . Cho $E/F$ là một mở rộng Galois hữu hạn với nhóm Galois $G$ (không nhất

Định lý Auslander-Buchsbaum

Mình gần đây tìm hiểu về vành Cohen-Macaulay, có hai định lý là Rees và Auslander-Buchsbaum (AB for short) là hai kết quả cơ bản ai cũng nên biết trước khi tìm hiểu về module Cohen-Macaulay. Định lý AB nói rằng tổng chiều xạ ảnh và độ sâu của một module $M$ trên vành $R$ luôn bằng độ sâu của chính $R$.  Định nghĩa . Nhắc lại một dãy $x_1,...,x_n$ gọi là $M$- chính quy nếu $x_i$ không là ước của không trong $M/(x_1,...,x_{i-1})M$ và $M/(x_1,...,x_n)M \neq 0$ (một phần tử $r \in R$ gọi là không là ước của không trong $M$ nếu $rm = 0 \Rightarrow m = 0$).  Trong trường hợp ta không đòi hỏi $M/(x_1,...,x_n)M$ thì ta nói dãy $x_1,...,x_n$ là một $M$-dãy yếu . Nếu $(x_1,...,x_n) \subset I$ với $I$ là một ideal của $R$ và không tồn tại $x_{n+1} \in I$ sao cho $(x_1,...,x_n,x_{n+1}) \subset I$ vẫn là một dãy $M$-chính quy thì ta nói dãy $x_1,...,x_n$ là $M$-chính quy cực đại trong $I$.  Định lý của Rees nói rằng mọi dãy chính quy cực đại trong một ideal có độ dài bằng nhau và đây cũng là điểm

Đa tạp đại số rút gọn hình học

Tiếp nối bài viết trước , trong bài này mình sẽ trình bày tiếp về đa tạp đại số rút gọn hình học (geometrically reduced algebraic varieties).  Kiến thức chuẩn bị Cho $k$ là một trường đặc số $p > 0$, $\overline{k}$ là bao đóng đại số của nó. Định nghĩa . Tập $$k^{perf} = \left \{x \in \overline{k} \mid \exists n \geq 0, x^{p^n} \in k \right \},$$ được gọi là bao hoàn hảo của $k$. Kí hiệu $k^{1/p} = \left \{x \in \overline{k} \mid x^p \in k \right \}$. Bổ đề $1$ . Trường $k^{perf}$ là trường hoàn hảo.  Chứng minh . Ta cần chứng minh đồng cấu Frobenius $x \to x^p$ là toàn cấu. Lấy $y \in k^{perf}$, khi đó theo tính đóng đại số, tồn tại $x$ mà $x^p = y$, tuy nhiên do $y \in k^{perf}$ nên $y^{p^n} \in k$ với $n \geq 0$ nào đó, từ đó $x^{p^{n+1}} \in k$ nên $x \in k^{perf}$. Ta có đpcm.  Bổ đề $2$ . Mở rộng $\overline{k}/k^{perf}$ là mở rộng đại số và tách được. Chứng minh . Mở rộng $\overline{k}/k^{perf}$ là đại số là hiển nhiên do mở rộng $\overline{k}/k$ là đại số. Nó là tách được do

Đa tạp đại số bất khả quy hình học

Xuất phát từ một bài tập của Hartshorne, mình sẽ trình bày một cách có hệ thống khái niệm bất khả quy hình học (tương ứng, rút gọn hình học - tiếng Anh, geometrically irreducible, geometrically reduced). Trong bài viết này, luôn giả sử $k$ là một trường, $X$ là một lược đồ. Kiến thức chuẩn bị Cho $k$ là một trường có đặc số $p>0$, khi đó mọi phương trình $x^p=a$ với $a \in k$ có nhiều nhất một nghiệm (bội $p$) trong $k$, nếu tồn tại nghiệm ta kí hiệu nó là $a^{1/p}$.  Bổ đề 1 . Cho $a \in k, a^{1/p} \notin k$ và $n\geq 0$. Khi đó $x^{p^n}-a$ là một đa thức bất khả quy trong $k$.   Chứng minh . Tham khảo, [McCarthy, Paul J. (1991). Algebraic Extensions of Fields ]. Định nghĩa $2$ . Cho $k \subset K$ là một mở rộng trường, một phần tử $x \in K$ được gọi là không tách được hoàn toàn trên $k$ (purely inseparable) nếu tồn tại $n \geq 0$ mà $x^{p^n} \in k$. Mở rộng đại số $k \subset K$ được gọi là không tách được hoàn toàn nếu mọi phần tử của $K$ là không tách được hoàn toàn trên

Lược đồ Hilbert (P2): Stack đại số và 2-phạm trù (Mumford's paper)

Một cái blog nonsense không liên quan lắm nếu ta chỉ quan tâm tới sự tồn tại của lược đồ Hilbert. Cho $S$ là một lược đồ, $X,T$ là các $S$ lược đồ, $\mathbf{Sets}$ là phạm trù tập hợp, $\mathrm{Sch}/S$ là phạm trù các $S$-lược đồ. Kí hiệu $$h_X(T) = h_{X/S}(T) = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Sch}/S}(T,X).$$ Xét một hàm tử  $$h:(\mathrm{Sch}/S)^{op} \to \mathbf{Sets}.$$ Trước tiên ta sẽ định nghĩa không gian moduli của $h$. Không gian moduli thô và mịn Định nghĩa . Một không gian moduli thô của $h$ là một cặp $(M,\lambda)$ trong đó $M$ là một lược đồ và $\lambda: h \to h_M$ là một biến đổi tự nhiên thỏa mãn: Với mọi trường $k=\overline{k}$ thì $\lambda(\mathrm{Spec}(k)): h(\mathrm{Spec}(k)) \to h_M(\mathrm{Spec}(k))$ là song ánh và; $(M,\lambda)$ là phổ dụng theo nghĩa trên, nói cách khác nếu $(M',\lambda')$ là một cặp khác thỏa mãn điều kiện đầu tiên thì tồn tại duy nhất $f: M \to M'$ thỏa mãn $\lambda' = h_f \circ \lambda$. Không gian thô được gọi là mịn nếu $h$ khả diễn bởi

Lược đồ Hilbert (P1): Đa thức Hilbert và Định lý chính quy Mumford-Castelnuovo

 Trong blog này, mình trình bày kết quả bó chính quy của Mumford và Castelnuovo. Kết quả này không có gì mới nhưng đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng lược đồ Hilbert, thứ mà mình muốn viết trong các blog tiếp theo. Trong toàn bộ blog ta giả sử $\mathbb{P}^n= \mathbb{P}_k^n$ là không gian xạ ảnh trong đó $k$ là một trường. Định nghĩa 1 . Một bó nhất quán $\mathcal{F}$ trên $\mathbb{P}^n$ được gọi là $m$- chính quy nếu $H^i(\mathcal{F}(m-i)) = 0 \ \forall i > 0$. Định lý 2 . (Mumford-Castelnuovo) Cho $\mathcal{F}$ là một bó $m$-chính quy trên $\mathbb{P}^n$. Khi đó các khẳng định sau đúng $(i)$   $H^0(\mathcal{F}(k)) \otimes H^0(\mathcal{O}(1)) \to H^0(\mathcal{F}(k+1))$ là toàn ánh với mọi $k \geq m$.  $(ii)$  $H^i(\mathcal{F}(k)) = 0 \ \forall k+i\geq m, i > 0$. Nói cách khác, $\mathcal{F}$ là $m'$-chính quy với mọi $m' \geq m$.  $(iii)$ $\mathcal{F}(k)$ được sinh bởi các lát cắt toàn cục với mọi $k \geq m$.  Để chứng minh kết quả của Mumford-Castelnuovo ta c