Thứ Tư, 8 tháng 1, 2020

Vi phân Kähler

Vi phân Kähler là một phiên bản đối ngẫu của trường vector trong đa tạp và hình học vi phân trong đại số. Từ khái niệm vi phân Kähler ta có thể định nghĩa phức de Rham và đối đồng điều de Rham theo nghĩa đại số. Tuy không well-behavior như phiên bản trong hình học vi phân nhưng trên một khía cạnh nào đó nó là tương đương, lấy ví dụ định lý so sánh Grothendieck. Từ khái niệm vi phân Kähler ta có thể định nghĩa phân thớ đối tiếp tuyến của lược đồ và các khái niệm phân thớ chính tắc (liên quan mật thiết tới đối ngẫu Serre).

Trong suốt bài viết này $A$ là một vành giao hoán có đơn vị và $B$ là một $A$-đại số.

Vi phân Kähler

Cho $\phi:A \to B$ là một $A$-đại số và $M \to \mathrm{End}(B)$ là một $B$-module. Một $A$-đạo hàm $B$ vào (into) $M$ là một đồng cấu $A$-tuyến tính $d: B \to M$ thỏa mãn:
$$\begin{cases} d(b_1b_2)=b_1db_2+ d_2db_1 \ \text{luật Leibniz} \\ d(\phi(A)) = 0 \end{cases}$$  
Kí hiệu tập tất cả các $A$-đạo hàm ứng với $(B,M)$ là $\mathrm{Der}_A(B,M)$.  

Ta gọi một cặp $(M,d)$ như trên đồng thời phổ dụng là module của các dạng vi phân tương đối của $B$ trên $A$, thường kí hiệu là $(\Omega^1_{B/A},d)$. Tức là mọi cặp $(M',d')$ khác sẽ phân tích duy nhất qua $M$. Nói cách khác tồn tại duy nhất một $B$-đồng cấu $f:\Omega^1_{B/A} \to M'$ sao cho $d' = f \circ d$. Module này hiển nhiên tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu, một mô hình cụ thể của nó là:
$$\Omega^1_{B/A} = \bigoplus_{b \in B} db / \left \{da (a \in A), d(b_1+b_2)=db_1 + db_2, d(b_1b_2)=b_1db_2 + b_2db_1 \right \}$$ 
Như vậy dễ thấy có một đẳng cấu 
$$\begin{aligned} \mathrm{Hom}_B(\Omega^1_{B/A},M) & \longrightarrow \mathrm{Der}_A(B,M) \\ f &  \longmapsto d \circ f \end{aligned}$$  
Nói cách khác hàm tử $\mathrm{Der}_A(B, \square)$ là khả diễn trái bởi $\Omega^1_{B/A}$. 
Ví dụ: Xét $A$ là vành giao hoán có đơn vị và $B = A[x_1,x_2,...,x_n]$ là vành đa thức khi đó xét $d': A[x_1,x_2,...,x_n] \to M$ là một $B$ đạo hàm thì
$$d'(f)  = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} d'x_i$$ 
Do đó đạo hàm này chỉ phụ thuộc vào $(d'x_i)_{1 \leq i \leq n}$ cho nên:
$$\Omega_{B/A}^1 = \bigoplus_{i=1}^n A[x_1,x_2,...,x_n]dx_i$$  

Vi phân Kahler khác vi phân thông thường ở nghĩa nào?

Về cơ bản, vi phân Kähler chỉ nắm bắt được thông tin giữa những đối tương có quan hệ đa thức với nhau. Nói riêng là các tổng đa thức hữu hạn. Một ví dụ kinh điển là trên vành các chuỗi hình thức $\mathbb{R}[[x]]$
$$de^x = d\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \right) \neq \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n = e^x dx$$ 
và để chứng minh ví dụ này đúng phải sử dụng bổ đề Zorn.

Hai dãy khớp cơ bản

Ta có hai dãy khớp cơ bản của vi phân Kähler (và một số tính chất bảo toàn tốt dưới việc chuyển cơ sở (base change), địa phương hóa. Từ đó giúp ta tính toán các ví dụ cụ thể hơn, chủ yếu xuất phát từ việc địa phương hóa và lấy thương một vành đa thức. 

Địa phương hóa

Cho $S \subset B$ là một tập nhân tính khi đó
$$S^{-1}\Omega^1_{B/A} \cong \Omega^1_{S^{-1}B/A}$$
 Dãy khớp cơ bản thứ nhất

Cho $A \to B \to C$ là một dãy các vành và các đồng cấu vành khi đó ta có dãy khớp
$$\Omega^1_{B/A} \otimes_B C \to \Omega^1_{C/A} \to \Omega^1_{C/B} \to 0$$ 
Dãy khớp cơ bản thứ hai

Cho $I$ là một ideal của $B$ và $C=B/I$ khi đó tồn tại một dãy khớp
$$\begin{aligned} I/I^2 & \longrightarrow \Omega^1_{B/A} \otimes C  \longrightarrow \Omega^1_{C/A} \to 0 \\ [b] & \longmapsto db \otimes 1    \end{aligned}$$

Ví dụ: Nếu $B = A[x_1,x_2,...,x_n], I = (f)$ thì
$$\Omega^1_{C/A} = \left (\bigoplus_{i=1}^n Cdx_i \right)/ \left( Cd \left (\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i \right) \right)$$ 

Bó vi phân và phân thớ chính tắc 

Cho $f: X \to Y$ là một cấu xạ lược đồ, ta thấy cấu xạ đường chéo $\Delta: X \to X \times_Y X$ về mặt địa phương luôn là nhúng đóng nên $\Delta(X)$ là tập đóng trong một lược đồ con mở $U \subset X \times_Y X$. Ta xét $\mathcal{I}$ là bó ideal xác định tập đóng $\Delta(X)$ trong $U$ và định nghĩa bó vi phân
$$\Omega^1_{X/Y}:= \Delta^*(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)$$ 
Bó vi phân về địa phương thỏa mãn tính chất của vi phân Kähler trên vành, tức là nếu $V$ là một tập mở affine của $Y$ và $W$ là một tập mở affine của $X$ sao cho $W \in f^{-1}(V)$ thì
$$\Omega^1_{X/Y} \mid_W = (\Omega^1_{\mathcal{O}_X(W)/\mathcal{O}_Y(V)})^{\sim}, (\Omega^1_{X/Y})_x = \Omega^1_{\mathcal{O}_{X,x}/\mathcal{O}_{Y,f(x)}}$$
Nói riêng bó vi phân $\Omega^1_{X/Y}$ là tựa nhất quán và hai tính chất trên xác định chính xác nó đúng tới một đẳng cấu.

Dựa vào hai dãy khớp cơ bản trên vành giao hoán và cũng có hai dãy khớp cơ bản trên lược đồ, cho $Y \to Z$ là một cấu xạ lược đồ khác và $T$ là một lược đồ con đóng của $X$ xác định bởi bó ideal $\mathcal{J}$. Khi đó ta có hai dãy khớp
$$f^*\Omega^1_{Y/Z} \to \Omega^1_{X/Z} \to \Omega^1_{X/Y} \to 0$$
$$\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega^{1}_{X/Y} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_Z \to \Omega^1_{Z/Y} \to 0$$
Các dãy khớp như này (ví dụ dãy Euler) nắm bắt các thông tin như xây dựng bó xoắn (twisted sheaf) của Serre, ...
Đối đồng điều de Rham

Ta định nghĩa các $n$-dạng vi phân trên một cấu xạ lược đồ $X \to Y$ là 
$$\Omega^n_{X/Y}:= \overset{n}{\bigwedge} \Omega^1_{X/Y}$$ 
Nó mở rộng tự nhiên thành phức de Rham
$$0 \to \mathcal{O}_X \overset{d^1}{\longrightarrow} \Omega^1_{X/Y} \overset{d^2}{\longrightarrow} \Omega^2_{X/Y} \to ...$$
nên tồn tại đối đồng điều de Rham đại số $H^*_{dR}(X/Y)$. Đồng thời do tính địa phương và tính tồn tại tích cup trên phức de Rham thông thường mà nó cung cấp cho ta tích cup trên bó
$$\cup: \Omega^n_{X/Y} \times \Omega^m_{X/Y} \to \Omega^{m+n}_{X/Y}$$
Trên lược đồ affine $X = \mathrm{Spec}(B), Y= \mathrm{Spec}(A)$ ta có thể dễ dàng tính đối đồng điều phức de Rham của nó 
$$0 \to B \to \Omega^1_{B/A} \to \Omega^2_{B/A} \to ...$$ 
Thông thường các ví dụ này lấy $A=k$ là một trường nào đó.

Ví dụ: lấy $k=A$ là một trường đặc số $0$ và $B=k[x,x^{-1}]=k[x]_{(x)}$ khi đó phức de Rham là 
 $$0 \to k \to k[x,x^{-1}] \to k[x,x^{-1}]dx \to 0 \to ...$$ 
Do đó 
$$H^0_{dR}(B/k)=k, H^1_{dR}(B/k)=kx^{-1}dx, H^n_{dR}(B/k) = 0 \ \forall n \geq 2$$
Trong khi đó với một chút khó khăn hơn nếu $A=k$ có đặc số $p$ thì
$$H^0_{dR}(B/k)=\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}}k.x^{ip},H^1(B/k)=\bigoplus_{i \in \mathbb{Z}}kx^{ip-1}dx, H^n_{dR}(B/k) = 0 \ \forall n \geq 2$$  
Do tính chất đặc biệt phụ thuộc vào trường số này mà đã sinh ra các số Betti không mong muốn, đối đồng điều crystalline là một lý thuyết đối đồng điều Weil trên trường hữu hạn, sinh ra để xử lý vấn đề này.

Lưu ý. Ta có hai định lý quan trọng

1) Bổ đề Poincare đại số nói rằng đối đồng điều de Rham $H^m_{dR}(k[x_1,...,x_n]/k)=0$ với mọi trường $k$ có đặc số $0$.

2) Định lý so sánh Grothendieck nói rằng nếu $X$ là một lược đồ trơn trên  $\mathrm{Spec}(\mathbb{C})$ thì $H^n_{dR}(X/\mathbb{C}) \cong H^n_{dR}(X^{an})$ trong đó $X^{an}$ là đa tạp phức liên kết với $X$.

Có một số công cụ tính toán đối đồng điều de Rham đại số như dãy phổ Hodge-to-de Rhamphủ affine Cech (hai phiên bản tương ứng trong đối đồng điều bó là dãy phổ Cech-to-derived functor và phủ Leray)  

Tham khảo 

[1] Robin Hartshorne, Algebraic Geometry. 
[2] Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves.  
[3] https://ncatlab.org/nlab/show/K%C3%A4hler+differential
[4] http://math.columbia.edu/~dejong/seminar/note_on_algebraic_de_Rham_cohomology.pdf
[5] https://mathoverflow.net/questions/244185/where-am-i-suppose-to-actually-learn-how-to-compute-hypercohomology

Thứ Hai, 25 tháng 11, 2019

Dãy phổ Grothendieck

Mình giới thiệu dãy phổ Grothendieck với mục đích xem xét dãy phổ Leray và dãy phổ Cech dẫn xuất để suy ra định lý về đối đồng điều của lược đồ affine. Lần đầu mình học dãy phổ và cũng tiếp xúc với dãy phổ Grothendieck từ hai năm trước, tuy nhiên lúc đó học rất hình thức, bây giờ ít ra mình thấy cũng không phí công học hồi đó.

Với những ai chưa biết về dãy phổ mình để sẵn hai link ở đây

+ Xây dựng Dress của dãy phổ Serre.
+ Giới thiệu về dãy phổ.

Định nghĩa $1$: Cho $\mathcal{B}$ là một phạm trù abel với đủ vật xa ảnh hoặc đủ vật nội xạ. Cho $F: \mathcal{B} \to \mathbb{Ab}$ là một hàm tử cộng tính. Một vật $B \in \text{Obj}(\mathcal{B})$ được gọi là $F$-acyclic phải nếu $(R^qF)B = 0 \ \forall q \geq 1$, tương tự, nó được gọi là $F$-acyclic trái nếu $(L_qF)B = 0 \ \forall q \geq 1$. Ở đây $R^q,L_q$ là các hàm tử dẫn xuất phải và trái bậc $q$.

Như mọi khi, ta không thực sự quan tâm tới cách xây dựng dãy phổ, hãy xem phát biểu và các hệ quả của nó là gì đã.

Định lý $2$: (dãy phổ Grothendieck, phiên bản $I$) Cho 
$$\mathcal{A} \overset{G }{\rightarrow} \mathcal{B} \overset{F}{\rightarrow} \mathcal{C}$$
là một dãy các hàm tử cộng tính thuận biến trong đó $\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}$ là các phạm trù abel có đủ vật nội xạ. Giả sử $F$ là khớp trái và $GE$ là $F$-acylic phải với mọi vật nội xạ $E$ trong $\mathcal{A}$. Khi đó với mọi vật $A$ trong $\mathcal{A}$ tồn tại một dãy phổ trong góc phần tư thứ ba sao cho:
$$E_2^{p,q} = (R^pF)(R^qG)A \underset{p}{\Rightarrow} R^{p+q}(F \circ G)A$$
Một số phiên bản khác và chứng minh - [Joseph J.Rotman, Introduction to Homological Algebra, p.$657$].

Ta quay lại vấn đề tính đối đồng điều bó, ta luôn giả sử rằng mình đang làm việc trong phạm trù đủ tốt, thực tế nói đơn giản, làm sao ta có thể tính đối đồng điều bó bằng cách chọn một giải thức nội xạ? Vì "số lượng" các bó nội xạ là vô cùng lớn. Đối đồng điều Cech như vậy được sáng tạo ra để giải quyết khó khăn này. Nhưng băn khoăn lớn nhất là làm sao hai lý thuyết đối đồng điều này đẳng cấu với nhau, hơn nữa nếu ta xem lại định nghĩa đối đồng điều Cech:
$$\check{H}^{p}(\mathcal{U},F)$$
những gì ta định nghĩa được không phải là đối đồng điều Cech thật sự, mà là đối đồng điều Cech theo nghĩa tương ứng với một phủ mở cho trước. Để có được một định nghĩa thật "phổ quát" ta cần chuyển qua đối giới hạn. Với hai phủ mở $\mathcal{U},\mathcal{V}$ của không gian topo $X$ ta viết $\mathcal{U} \leq \mathcal{V}$ nếu với mọi $V \in \mathcal{V}$ tồn tại $U \in \mathcal{U}$ sao cho $V \subset U$ và nói $\mathcal{V}$ mịn hơn $\mathcal{U}$. Quan hệ mịn hơn này cũng phân lớp các đối đồng điều thành một tập định hướng. Và ta có thể lấy giới hạn
$$\check{H}^q(X,F) = \underset{\rightarrow}{\lim} \check{H}^q(\mathcal{U},F)$$
Ngay khi có một định nghĩa phổ quát ta lại gặp phải một bài toán là giới hạn này khó tính chả kém việc lấy các giải thức nội xạ, và đó là lý do mình phát biêu định lý $10$ trong bài viết trước, tức là nó cho phép ta chọn một phủ cụ thể để tính mà vẫn bảo đảm toàn bộ thông tin nhóm ban đầu. Mục đích của mình trong bài viết này là chứng minh định lý đó, trước tiên để mình suy ra hai dãy phổ quan trọng từ dãy phổ Grothendieck.

Nếu $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo và $F$ là một bó các nhóm abel trên $X$. Khi đó ta có dãy sau:
$$\textbf{Sh}(X) \overset{f_*}{\rightarrow} \textbf{Sh}(Y) \overset{\Gamma}{\rightarrow} \textbf{Ab}$$
Nếu lấy $F$ là $f_*$ (khớp trái do có liên hợp là ảnh ngược $f^{-1}$) và $G$ là $\Gamma(X, -)$ thì có thể thấy $F$ gửi vật nội xạ sang vật flasque nên hiển nhiên acyclic. Do đó ta có:

Định lý $3$: (dãy phổ Leray) Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo và $F$ là một bó các nhóm abel trên $X$. Khi đó có một dãy phổ trong góc phần tư thứ ba:
$$E^{pq}_2 = H^p(Y,R^qf_*(F)) \Rightarrow H^{p+q}(X,F)$$
Xem thêm tại đây.
Lưu ý: dãy phổ Leray sẽ có ích khi nghiên cứu ảnh bậc cao của hàm tử đẩy xuôi. Với một tình huống tương tự nhưng cho đối đồng điều Cech:

Định lý $4$: (dãy phổ Cech-đến-dẫn xuất) Cho không gian topo $X$ và một phủ mở $\mathcal{U}$ và $F$ là một bó các nhóm abel trên $X$. Khi đó có một dãy phổ:
$$E^{pq}_2 = \check{H}^p(\mathcal{U},H^q(-,F)) \Rightarrow H^{p+q}(X,F)$$
Xem thêm tại đây.

Định lý Leray ở dưới đây dù liên quan - không liên quan lắm nhưng mình đề tạm vào đã.

Định lý $5$: (định lý Leray) Cho $X$ là một không gian topo và một phủ mở $\mathcal{U}$ cùng một bó các nhóm abel $F$ sao cho:
$$H^p(\bigcap_{j=0}^n U_{i_j}, F) = 0 \ \forall U_{i_j} \in \mathcal{U}$$
khi đó có một đẳng cấu:
$$\check{H}^p(\mathcal{U},F) \cong H^p(X,\mathcal{F})$$

Định lý $6$: Cho $X = \text{Spec}(A)$ trong đó $A$ là một vành Noether. Khi đó với mọi $F$ là bó tựa nhất quán trên $X$ thì:
$$H^p(X,F) = 0 \ \forall p > 0$$
Chứng minh: [Hartshorne, Algebraic Geometry, p.$215$]

Cuối cùng là mục đích của post này, chứng minh định lý $10$ trong bài viết trước.

Định lý $7$Cho $X$ là một lược đồ tựa compact, tách được và $\mathcal{F}$ là một bó tựa nhất quán. Gọi $\mathcal{U}$ là một phủ mở với các thành phần là các lược đồ con mở affine. Khi đó tồn tại một đẳng cấu:
$$\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F}) \cong H^p(X, \mathcal{F})$$
Chứng minh: Do lược đồ $X$ là tựa compact nên nó nhận một phủ affine hữu hạn
$$\mathcal{U} = \left \{U_1,U_2,...,U_n \right \}$$
nhưng do $X$ là tách được nên giao một họ bất kì trong $\mathcal{U}$ là affine , nói riêng theo định lý $6$ ta có:
$$H^p(\bigcap_{j=0}^n U_{i_j},F) = 0 \ \forall p > 0$$
Nói riêng dãy phổ Cech-đến-dẫn xuất có trang thứ hai:
$$E^{pq}_2 = \begin{cases} \check{H}^p(\mathcal{U}, F) \ \text{nếu} \ q = 0 \\ 0 \ \text{nếu} \ q \neq 0 \end{cases}$$
Do đó dãy phổ này suy biến ngay trang thứ hai nên ta có đẳng cấu mong muốn.

Lưu ý: Xem thêm $(*)$ tại [Ravi Vakil, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry, p.$284$]. 

Thứ Tư, 20 tháng 11, 2019

Đối đồng điều với hệ số là bó tựa nhất quán

Sau bài hôm trước, hôm nay mình trình bày lại kết quả của buổi học hôm qua khi mình take course của giáo sư Lei Zhang về đối đồng điều bó với hệ số bó tựa nhất quán, trong tiếng Anh, quasi-coherent sheaf. Đây là phiên bản dịch bởi giáo sư Ngô Bảo Châu. Sau khi take course vài hôm cuối cùng mình cũng tiếp cận được cách những người làm hình học đại số làm gì với đối đồng điều Čech, bản thân mình học topo đại số cũng không bao giờ cần dùng đến đối đồng điều bó hay đối đồng điều Čech cả. Mình chỉ cố trình bày ý tưởng trong blog chứ không thể detailing tất cả những thứ này ra, việc đó là việc của mỗi người - I think so.

Ta bắt đầu với một nhận xét. Kí hiệu phạm trù các nhóm abel, phạm trù tiền bó và phạm trù bó là $\textbf{Ab},\textbf{pSh}, \textbf{Sh}$. Nếu $X$ là một không gian topoo thif hàm tử lát cắt toàn cục:
$$\Gamma:\textbf{(p)Sh} \to \textbf{Ab}$$
$$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}(X)$$ 
là một hàm tử khớp trái nhưng không khớp phải trong cả hai phạm trù $\textbf{pSh},\textbf{Sh}$ nên ta có thể nghĩ tới đối đồng điều để đo độ khớp của nó. 

Định nghĩ $1$: Nếu $X$ là một không gian topo, khi đó nhóm đối đồng điều thứ $p \geq 0$ của $X$ với hệ số trong bó $\mathcal{F}$ được định nghĩa là hàm tử dẫn xuất thứ $p$
$$H^p(X,\mathcal{F}):= R^p\Gamma(X,\mathcal{F})$$
Trường hợp đặc biệt
$$H^0(X,\mathcal{F}) \cong \Gamma(X,\mathcal{F})$$
Vấn đề khi tính đối đồng điều là ta phải sử dụng giải nội xạ, thường khó tìm trong thực tế, một giải thức nhẹ nhàng hơn là giải thức flasque (tiếng Anh, flabby: nhão nhưng mình không thích dùng từ này).

Định nghĩa $2$: Một bó $\mathcal{G}$ được gọi là flasque trên $X$ nếu mọi tập mở $U \subset X$ thì $\Gamma(X,\mathcal{G}) \to \Gamma(U,\mathcal{G})$ là một toàn cấu. 

Godement chứng minh rằng giải thức flasque luôn tồn tại và ta có thể chứng minh rằng đối đồng điều có thể tính bằng giải thức flasque, hơn nữa mọi bó nội xạ đều là bó flasque. Nên ta có thể yên tâm tính đối đồng điều theo cách này. 

Mở rộng kết quả trên cho $\mathcal{O}_X$ - module ta có:

Định lý $3$: Cho $(X,\mathcal{O}_X)$ là không gian định vành (ringed space), khi đó mọi $\mathcal{O}_X$ module nội xạ là flasque xem trong phạm trù các $\mathcal{O}_X$ - module.

Chứng minh: Xem tại đây

Mệnh đề $4$: Cho $(X,\mathcal{O}_X)$ là không gian định vành khi đó pham trù các $\mathcal{O}_X$ - module là phạm trù có đủ vật nội xạ. 

Định lý $5$: Nếu $\mathcal{F}$ là bó flasque trên không gian topo $X$ thì $H^p(X,\mathcal{F}) = 0 \ \forall p > 0$. 

Chứng minh: Theo mệnh đề $4$ ta có thể nhúng $\mathcal{F}$ vào một $\mathcal{O}_X$ module nội xạ, kí hiệu, $\mathcal{G}$, lấy thương ta có:
$$0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}/\mathcal{F} = (\mathcal{H}) \to 0$$
Lưu ý rằng mọi dãy khớp ngắn các bó với middle term là flasque thì last term nonzero cũng là flasque. Từ đó ta có dãy khớp dài của đối đồng điều, chú ý $\mathcal{G}$ là nội xạ và $\mathcal{F}$ là flasque nên:
$$\begin{cases} H^1(X,\mathcal{G})=0\\  H^p(X,\mathcal{F})\cong H^{p-1}(X,\mathcal{H}) \end{cases}$$
Nhưng $\mathcal{H}$ cũng là flasque nên ta có đpcm. 

Cho tới lúc này ta chưa làm việc với lược đồ (scheme) hay bó tựa nhất quán (quasi-coherent sheaf), để bắt đầu ta sẽ định nghĩa bó tựa nhất quán. Theo một nghĩa nào đó, nó làm cho $\mathcal{O}_X$ module thật sự là module trên các mảnh affine. 

Định nghĩa $6$: Cho $X$ là một lược đồ. Khi đó một $\mathcal{O}_X$ - module $\mathcal{F}$ được gọi là một bó tựa nhất quán nếu với mọi tập mở affine $U$ thì $\mathcal{F}_{\mid U} = \widetilde{M}$ với $M$ là một $\Gamma(U,\mathcal{O}_X)$ - module nào đó. Ở đây $\widetilde{M}$ là xây dựng bó module tương tự trong trường hợp dán các tập mở chính của lược đồ affine. 

Xem thêm về bó tựa nhất quán tại đây.

Không đi theo cách sách Hartshorne đã đi, giáo sư Lei Zhang trong course mình tham dự đã giới thiệu đối đồng điều Čech trước, sau đó tính đối đồng điều bó hoàn toàn qua đối đồng điều Čech. Để đi theo cách của giáo sư Lei Zhang mình trình bày trước về đối đồng điều Čech. 

Định nghĩa $7$: Cho $X$ là một không gian topo và $\mathcal{U} = \left \{ U_i \right \}_{i \in I}$ là một phủ mở với tập chỉ số $I$ được sắp thứ tự toàn phần (không sắp thứ tự cũng được nhưng rốt cuộc nó sẽ đẳng cấu). Với một bộ chỉ số hữu hạn $i_1,...i_n$ ta kí hiệu 
$$U_{i_1...i_n} = U_{i_1} \cap U_{i_2} \cap ... \cap U_{i_n}$$
Nếu lo lắng về các bó ta đang làm việc, bạn có thể xem như đây đều là bó các nhóm abel. Kí hiệu xích phức (chain complex) xác định bởi phủ này 
$$C^p(\mathcal{U},\mathcal{F}):= \prod_{i_0 < i_1 < ... < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0...i_p})$$
Định nghĩa đồng cấu biên:
$$d^p: C^p(\mathcal{U},\mathcal{F}) \to C^{p+1}(\mathcal{U},\mathcal{F})$$
$$(\alpha)_{i_0...i_p} \mapsto \sum_{k=0}^{p+1}(-1)^{k}\alpha_{i_0...\hat{i_k}...i_{p+1}} \mid U_{i_0...\hat{i_k}...i_{p+1}}$$
Tương tự như mọi lý thuyết đối đồng điều ta có $d^2=0$, ta kí hiệu nhóm đối đồng điều thứ $p$ ứng với phủ $\mathcal{U}$ là $\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$. 

Định nghĩa $8$: Một cấu xạ giữa các không gian định vành địa phương (locally ringed spaces) $(f,f^{\#}): (X,\mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ được gọi là một nhúng đóng (closed immersion) nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:
$i)$ $f(X)$ là tập đóng trong $Y$ và $f: X \to f(X)$ là đồng phôi.
$ii)$ $f^{\#}:\mathcal{O}_Y \to f_{*}\mathcal{O}_X$ là toàn cấu bó. 

Định nghĩa $9$: Trong phạm trù $S$-lược đồ với $S$ lược đồ luôn tồn tại tích theo thớ (fibre product) $X \times_{S} Y$, nói riêng tồn tại cấu xạ đường chéo
$$\Delta_{X/S}: X \to X \times_{S} X$$
Ta biết rằng $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ là vật cuối trong phạm trù lược đồ nên với mọi lược đồ $X$ luôn tồn tại một cấu xạ chính tắc $X \to \text{Spec}(\mathbb{Z})$. Khi đó $X$ gọi là tách được (separated) nếu $\Delta_{X/\text{Spec}(Z)}$ là một nhúng đóng. 

Xem thêm tại đây. 

Định lý $10$: Cho $X$ là một lược đồ tựa compact, tách được và $\mathcal{F}$ là một bó tựa nhất quán. Gọi $\mathcal{U}$ là một phủ mở với các thành phần là các lược đồ con mở affine. Khi đó tồn tại một đẳng cấu:
$$\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F}) \cong H^p(X, \mathcal{F})$$ 
Lưu ý: Trong [Hartshorne, Algebraic Geometry, $III$ - $p.222$] cũng phát biểu định lý này nhưng yêu cầu lược đồ là tách được và Noether nhưng nếu bỏ điều kiện lược đồ Noether thì định lý vẫn đúng. Cái khác của cách trình bày trong bài giảng của giáo sư Lei Zhang và Hartshorne theo mình thấy là giáo sư Lei đã trình bày định lý $10$ ngay từ đầu để sau đó chứng minh những định lý khác như định lý $11,12$ dưới đây còn Hartshorne lại suy ra định lý $10$ này ở cuối mà khá "độc lập" với định lý $11,12$ dưới đây - vốn là các định lý được trình bày trước định lý $10$ trong sách của Hartshorne.

Ví dụ: Để ví dụ cho định lý $10$ ta sẽ tính thử đối đồng điều bó của lược đồ xạ ảnh trên một vành $A$ bất kì, $X = \text{Proj}(A[T_0,T_1])=\mathbb{P}^1_A$. Xét phủ mở affine:
$$\mathcal{U} = \left \{D_{+}(T_0)=U_0,D_{+}(T_1)=U_1 \right \}$$
Khi đó ta có:
$$\begin{cases} \mathcal{O}_X(U_0) = A[T_1/T_0] \\ \mathcal{O}_X(U_1) = A[T_0/T_1] \\ \mathcal{O}_X(U_0 \cap U_1) = A[T_1/T_0,T_0/T_1] \end{cases}$$
Khi đó phức của đối đồng điều Čech là:
$$0 \to A[T_1/T_0] \times A[T_0/T_1] \to A[T_1/T_0, T_0/T_1] \to 0$$
Trong đó cấu xạ ở giữa là:
$$(f(T_1/T_0),g(T_0/T_1)) \mapsto g(T_0/T_1)-f(T_1/T_1)$$
Hạt nhân của cấu xạ này là các đa thức biến $T_0/T_1$ và $T_1/T_0$ vốn chỉ có các hằng số, do đó:
$$\begin{cases} \check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F}) = A \\ \check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F}) = 0 \ \forall p \geq 1 \end{cases}$$
Ví dụ trên được coi là trường hợp đặc biệt của định lý sau: 

Định lý $11$: Cho $X$ là một lược đồ affine. Khi đó với mọi $\mathcal{F}$ là bó tựa nhất quán thì:
$$H^p(X,\mathcal{F}) = 0 \ \forall p > 0$$
Hệ quả: Cho $X$ là lược đồ Noether và $\mathcal{F}$ là một bó tựa nhất quán trên $X$ thì $\mathcal{F}$ có thể nhúng vào một bó tựa nhất quán và flasque. 

Chứng minh: [Hartshorne, Algebraic Geometry, $III$ - $p.215$]

Lưu ý: Lược đồ affine luôn tách được và ta vẫn không cần đến điều kiện Noether. Định lý đảo của định lý $11$ cũng đúng và được gọi là tiêu chuẩn Serre. 

Định lý $12$: (Serre) Cho $X$ là một lược đồ Noether hoặc vừa tựa compac (quasi-compact) và tách được. Khi đó ba điều sau là tương đương:
$i)$   $X$ là lược đồ affine. 
$ii)$  $H^p(X,\mathcal{F})=0$ với mọi $p \geq 1$ và với mọi bó tựa nhất quán $\mathcal{F}$. 
$iii)$ $H^1(X,\mathcal{F})=0$ với mọi bó tựa nhất quán $\mathcal{F}$. 

Lưu ý: Định lý $11$ nếu sử dụng định lý $10$ thì nó hoàn toàn là tính toán đại số nhưng định lý $12$ dù có thêm gì vào thì nó vẫn cực kì painful. Mình cũng chưa hiểu chứng minh định lý $12$. 



Thứ Sáu, 15 tháng 11, 2019

Đa thức Hilbert và định lý Bézout

Gần đây mình đi take course về đối đồng điều và đường cong đại số nên tranh thủ note lại cái này. Từ trước tới giờ mình chỉ tiếp cận hình học đại số theo nghĩa lược đồ và một chút đối đồng điều còn giờ quay lại với Italian school thì thấy những ý tưởng tự nhiên hơn (dĩ nhiên vì mình học ngược) và rất đáng học. Trong bài viết này mình trình bày về đa thức Hilbert và sử dụng nó để chứng minh định lý Bézout. Định lý Bézout nôm na nói rằng hai đường cong bậc $m,n$ không thể cắt nhau quá $mn$ điểm, ở đây định lý Bézout đã được trình bày ngắn gọn và bỏ qua khái niệm bội giao (multiplicity).

Chủ yếu kiến thức tham khảo từ sách đại số giao hoán của Atiyah và Macdonald nhưng mình sẽ cố diễn giải theo một cách tự nhiên nhất. Các định lý ban đầu khá tổng quát nhưng về sau sẽ chỉ chuyển về các đường cong đại số trong đa tạp xạ ảnh.

Định nghĩa $1$: Giả sử $A = \bigoplus_{n \geq 0} A_n$ là một vành phân bậc, theo định nghĩa vành phân bậc thì bản thân $A_0$ là một vành và như vậy $A$ là một $A_0$ - đại số. Ta gọi $A$ là vành phân bậc trên $A_0$. 

Định lý $2$: Vành phân bậc $A$ trên $A_0$ là vành Noether khi và chỉ khi $A_0$ là vành Noether và $A$ là một $A_0$ - đại số hữu hạn sinh. 

Chứng minh: M.F.Aityah - Macdonald [$10$,p.$106$].

Định nghĩa $3$: Với mỗi lớp $C$ các $A_0$ - module ta gọi mỗi hàm:
$$\lambda: C \to \mathbb{Z}$$
thỏa mãn tính chất, nếu có một dãy khớp các $A_0$ module:
$$0 \to M \to N \to P \to 0$$
thì 
$$\lambda(N) = \lambda(M) + \lambda(P)$$
thì ta gọi $\lambda$ là một hàm lớp. 

Quay lại với $(A,A_0)$, ta giả sử $A$ là vành Noether thì theo định lý $2$ bản thân $A_0$ là vành Noether và $A$ là $A_0$ - đại số hữu hạn sinh bởi các phần tử thuần nhất $x_1,...,x_s$ với bậc tương ứng $k_1,...k_s$. Mọi $A$ - module phân bậc hữu hạn sinh $M$ có các thành phần thuần nhất $M_n$ là $A_0$ - module hữu hạn sinh. Với mọi hàm lớp trên các $A_0$ - module hữu hạn sinh ta xét tổng hình thức:
$$P(M,t) = P(\bigoplus M_n,t) = \sum_{n \geq 0} \lambda(M_n)t^n$$

Định lý sau có lẽ chưa bao giờ làm mình hết bất ngờ, một năm trước khi mình được dạy định lý này thầy mình bảo, "chứng minh những cái này đôi khi dễ và ai đọc cũng hiểu nhưng không mấy ai ngoài thiên tài nghĩ ra được".

Định lý $4$: (Hilbert, Serre) Tồn tại một đa thức $f(t) \in \mathbb{Z}[t]$ thỏa mãn:
$$P(M,t) = \frac{f(t)}{\prod_{i=1}^{s}(1-t^{k_i})}$$
Chứng minh: M.F.Aityah - Macdonald [$11$,p.$117$]

Tiếp sau đây ta luôn giả sử $f(1) \neq 0$. 

Trường hợp đặc biệt khi $A_0 = k$ là một trường (ta lấy đóng đại số) và hàm lớp:
$$\lambda(M_n) = \dim_{k}M_n$$
được gọi là hàm Hilbert, kí hiệu $h_k$.

Nếu tất cả $k_i = 1$ thì nói chung ta có:
$$P(M,t) = \frac{f(t)}{(1-t)^s}= f(t)\left(\sum_{n \geq 0}\binom{n+s-1}{s-1}t^n \right)$$
Ta đặt $f(x) = \sum_{i=0}^N a_i x^i$ khi đó
$$h_k(n) = \sum_{i=0}^N a_i \binom{n-i+s-1}{s-1}$$
nên với $n$ đủ lớn $h_k$ là một đa thức bậc $s-1$. 

Với mỗi ideal thuần nhất $I \subset k[x_0,x_1,...x_n]$ ta xét hàm Hilbert:
$$h_I: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$
$$m \mapsto \dim_k k[x_0,x_1,...,x_n]_m/I_m$$
trong đó $I_m$ là thành phần thuần nhất bậc $m$ của $I$. 

Giờ ta quan tâm đường cong trong không gian xạ ảnh, tổng quát hơn là đa tạp trong không gian xạ ảnh cổ điển $\mathbb{P}^n_k=\mathbb{P}^n$, với mỗi đa tạp xạ ảnh $X$ (projective variety) thì ideal định nghĩa $X$ tương ứng qua định lý không điểm Hilbert là ideal thuần nhất, kí hiệu $I(X)$. Ta định nghĩa hàm Hilbert $h_X:=h_{I(X)}$. Kí hiệu $r=\dim(X)$ là số chiều trong topo Zariski của $X$ khi đó ta có định lý không tầm thường mà mình cũng chưa biết chứng minh:

Định lý $5$: Với những dữ kiện trên:
$$r = \text{deg}(h_X)$$
Nhắc lại rằng một đường cong đại số (algebraic curve) là một tạp đại số bất khả quy (affine hoặc xạ ảnh) với số chiều bằng $1$ dưới topo Zariski. Cho một đường cong đại số $C  \subset \mathbb{P}^n$ khi đó theo hệ quả định lý Hilbert thì $h_C$ là một đa thức. Ta sẽ xem đa thức này là gì.

Mệnh đề $6$: Mọi đường cong đại số $C \in \mathbb{P}^2$ không tầm thường được sinh bởi tập nghiệm của một đa thức bất khả quy, viết, $C = Z(f)$. 

Chứng minh: Ta luôn lấy được một đa thức bất khả quy $f$ trong $C$ với bậc nhỏ nhất, khi đó hiển nhiên $Z(f) \subset C$. Để ý rằng ta lấy trường đóng đại số nên luôn tồn tại một điểm $p \in Z(f)$. Nếu $Z(f) \neq C$ thì ta có một dãy các tập bất khả quy:
$$p \subsetneq Z(f) \subsetneq C \subsetneq \mathbb{P}^2$$
Điều này trái với $\dim \mathbb{P}^2 = \dim \mathbb{A}_k^3 - 1 = 2$. (cần chú ý đẳng thức cuối là không tầm thường)

Ví dụ $7$: Khi $C=Z(f) \in \mathbb{P}^2$ là một đường cong xạ ảnh. Như vậy $I(C)_m$ là các đa thức dạng $gf$ với $\text{deg}(g) = m - \text{deg}(f)$ do đó ta có thể đồng nhất $I(C)_m$ với $k[x_0,x_1,x_2]_{m - \text{deg}(f)}$, do đó ta tính được hàm Hilbert:
$$h_C(m) = \dim_k k[x_0,x_1,x_2]_{m - \text{deg}(f)} = \binom{m-d+2}{2}$$
Nói riêng hàm Hilbert của $C$ có dạng:
$$h_C(m) = \text{deg}(f)m - \frac{d(d-3)}{2}$$

Định nghĩa $8$: Với các giả thiết như trong ví dụ trên ta định nghĩa giống số học của $C$ là:
$$g(C) = 1 - h_C(0) = \frac{d^2-3d+2}{2}=\binom{d-1}{2}$$

Để đến với định lý Bézout ta cần khái niệm cuối cùng là bậc của đa tạp xạ ảnh (projective variety). Ở trên ta mới chỉ nêu ra định lý Hilbert-Serre và hệ quả của nó khi biết rằng có một hệ sinh gồm toàn các phần tử thuần nhất bậc một. Nói riêng khi $X$ là một đa tạp xạ ảnh $(X\subset \mathbb{P}^n$) và $I(X)$ là ideal thuần nhất tương ứng trong $k[x_0,...x_n]$ thì $k[x_0,...,x_n]/I(X)$ sinh bởi $\overline{x_0},...\overline{x_n}$ có bậc nhất, nói riêng, hàm Hilbert của $X$ có dạng:
$$h_X(n) = \frac{f(1)}{(s-1)!}n^{s-1} + \left(\text{lower degree terms} \right)$$
Định nghĩa $9$: Giá trị $f(1) = \sum a_i$ được gọi là bậc của $X$ và kí hiệu $\text{deg}(X)$. 

Định lý $10$: (Bézout) Cho $X \subset \mathbb{P}^n$ là một đa tạp xạ ảnh với số chiều ít nhất là $1$, khi đó với mọi $f \in k[x_0,...,x_n]$ là đa thức thuần nhất không triệt tiêu hoàn toàn trên bất kì thành phần bất khả quy nào của $X$ thì:
$$\text{deg}(I(X)+(f)) = \text{deg}(X)\text{deg}(f)$$
Ta cần bổ đề sau:

Bổ đề $11$: Cho $I \subset k[x_0,...,x_n]$ là một ideal thuần nhất và $f$ là một đa thức thuần nhất sao cho tồn tại số $d_0$ thỏa mãn tính chất với mọi đa thức thuần nhất $g$ với bậc $\geq d_0$ sao cho $gf \in I$ thì $g \in $I$. Khi đó:
$$h_{I+(f)}(m) = h_I(m) - h_I(m-\text{deg}(f))$$
với mọi $m$ đủ lớn.
Chứng minh bổ đề:

Đặt $R = k[x_0,...,x_n]$ khi đó ta có dãy khớp:
$$0 \to R_{m-\text{deg}(f)}/I_{m-\text{deg}(f)} \overset{\times f}{\rightarrow} R_m/I_m \to R_m/(I+(f))_m \to 0$$
theo tính chất cộng tính của hàm lớp - mà ở đây là hàm Hilbert thì ta có đpcm.

Chứng minh định lý:

Theo bổ đề ta có:
$$h_{I(X)+(f)}(m)  = h_X(m) - h_X(m-\text{deg}(f))$$
Đặt $\text{deg}(f)=u$, từ định nghĩa $5$ và $9$ ta có:
$$h_X(m) = \frac{\text{deg}(X)}{(\dim(X))!}m^{\dim(X)}+ am^{\dim(X)-1}+o(m^{\dim(X)-1})$$
$$h_X(m-u) = \frac{\text{deg}(X)}{(\dim(X))!}(m-u)^{\dim(X)}+ a(m-u)^{\dim(X)-1}+o(m^{\dim(X)-1})$$
Như vậy:
$$h_{I(X)+(f)}(m) = \frac{u\text{deg}(X)}{(\dim(X)-1)!}m^{\dim(X)-1}+o(m^{\dim(X)-1})$$
Theo định nghĩa lần nữa:
$$\text{deg}(I(X)+(f)) = u\text{deg}(X) = \text{deg}(f)\text{deg}(X)$$
Kết thúc chứng minh.

Hilbert's theorems have never failed to make me surprised.

"Every theorem of Hilbert is important."

Thứ Hai, 29 tháng 4, 2019

Topological Swan's theorem

Swan's theorem (usually, Serre-Swan theorem) concerns with the connection vector bundles and projective modules and explains the similarity of topological and algebraic K - theory. Indeed we have three forms of Swan theorem: in differential geometry, topology and algebraic geometry. Each form concentrates to a kinds of sufficiently nice based space such as smooth manifolds, compact Hausdorff spaces, affine varieties with a structure of sheaf, respectively.

In this post I states and give a proof to the second. I assume you guys are familiar with topological K - theory and basic homological algebra or commutative algebra (I wrote many on my blog which is elementary and ascessible even for undergrads) and I also represent the preliminaries about $K_0$ group and Picard group here.

Firstly, a projective module $M$ over a ring $R$ is a module such that the left-hom funtor $\text{Hom}(R,\text{ })$ is exact. Equivalently, a projective module is isomorphic to a direct summand of a free module. Let $\text{Proj}(R)$ be the full subcategory containning all projective modules of category of modules over $R$. If we take "isomorphic" to be a equivalent relation then $\text{Proj}(R)$ becomes an abelian monoid. By Grothendieck's construction of group completion we have a group $K_0(R)$. This is the $0^{th}$ algebraic K - group of ring $R$. $K_0$ then becomes a continuous functor (commutes with direct limit) and satisfies Morita invariance. When $R$ is a PID then $K_0(R) = \mathbb{Z}$. Particularly $K_0(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ then we define reduced $K_0$ to be the image of $i_{*}: \mathbb{Z} = K_0(\mathbb{Z}) \to K_0(R)$ where $i: \mathbb{Z} \to R, 1 \mapsto 1$.

Let takes a look at algebraic line bundles over a ring $R$. Given a finitely generated module $M$ over a nice ring $R$ such as commutative ring with $1$. The rank of $M$ at a prime ideal $p$ of $R$ is defined to be $\text{rank}_p(M) = \text{dim}_{R_p/pR_p} M \otimes_{R} R_{p}/pR_p$. $\text{rank}(M)$ could be seen as a continuous function from $\text{Spec}(R)$ to $\mathbb{N}$. An algebraic line bundle $L$ over a ring $R$ is just a finitely generately $R$ - module which $\text{rank}(L) \equiv 1$ is a constant function. The Picard group of $R$ is the group completion of the set of isomorphism classes of algebraic line bundles over $R$. The theory of Picard group is quite complicated so omits!

The higher K - group is much more difficult and tks to Quillen's construction so we really have a generalized algebraic cohomology theory but we omit it here and again refer you to typical textbook like The K - book of Charles Weibel.

Theorem: (Swan) Let $X$ be a compact Hausdorff space and $R = C^0(X)$ be the ring of continuous function from $X$ to $\mathbb{F}$ ($\mathbb{F}$ is $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$). If $p: E \to X$ be a $\mathbb{F}$ - bundle then let:
$$\Gamma(E) = \left \{s: X \to E \text{continuous}: p \circ s = id_X \right \}$$
be the sheaf of global section. It is naturally a $R$ - module and Swan theorem asserts that it is finitely generated $R$ - module. Moreover $K_0(R) \cong K^{0}(X)$ and the map $E \to \Gamma(E)$ induces and isomorphism between the category of vector bundles over $X$ and the category of finitely generated $R$ - module.

Remark. The theorem above can also reduce to line bundles. It means topological line bundles are 1-1 corresponding to to algebraic line bundles.

Proof: 

Let $p: E \to X$ be a bundle. For each $x \in X$ there is a neighborhood $U_x$ such that $p_{|U_x}: p^{-1}(U_x) \to U_x$ is a trivial bundle. Without loss of generality (since the compactness of $X$) we could assume $\left \{U_x \right \}$ is a finite set $\left \{U_i \right \}$. Again, by the paracompactness we have a partition of unity subordinate to the finite-cover $\left \{U_i \right \}$, called $\left \{p_i \right \}$. It's well-known that a $n$ = dimensional bundle is trivial iff it has $n$ sections such that at each points their values at that point is a basis at the correspond fiber so $\Gamma(E|U_i)$ is free and finitely generated. If $s \in \Gamma(E|U_i)$ is a generator then we extend $s$ to all $E$ by:
$$\overline{s}(x) = \left\{\begin{matrix}
p_i(x)s(x) , x \in U_i\\
0, \text{otherwise}
\end{matrix}\right.$$
Since each $\Gamma(E|U_i)$ is generated by finitely many sections and there are finitely many such $U_i$ it shows that $\Gamma(E)$ is finitely generated. In order to see $\Gamma(E)$ is projective we note that exist the orthogonal complement $E^{\perp}$ of $E$ such that the Whitney sum $E \oplus E^{\perp}$ is a trivial bundle $X \times \mathbb{F}^m$. The additive functorality of $\Gamma$ applies:
$$\Gamma(E) \oplus \Gamma(E^{\perp}) \cong \Gamma(X \times \mathbb{F}^m) \cong R^m$$
hence $\Gamma(E)$ is a direct summand of a free module, it is a projective $R$ - module.

Conversely, give a finitely generated projective $R$ - module $P$; $P \oplus Q =R^n \cong C^0(X, \mathbb{F}^n)$. We may view $P$ as a collection of functions from $X$ to $\mathbb{F}^n$ and let:
$$E = \left \{(x,v_1,v_2,...v_n) \in X \times \mathbb{F}^n: \exists s \in P: s(x) = (v_1,v_2 ...v_n) \right \}$$
Defining $p: E \to X$ to be the projection at the first coordinate and it is not really hard to check this is indeed a vector bundle, then the equivalence of categories follows easily.

References:

[1] Allan Hatcher, Vector bundle and K - theory.
[2] Jonathan Rosenberg, Algebraic K - theory and its application.
[3] Charles Weibel, The K - book: An Introduction to Algebraic K - theory.
[4] https://web.uvic.ca/~drhh/extendedabstract.pdf

Thứ Năm, 4 tháng 4, 2019

Mô hình tối tiểu gồm $2n+2$ điểm cho mặt cầu $n$ chiều

Trong bài viết này mình tập chung vào hai nội dung:

+ Mọi không gian liên thông $T_{1}$ mà không đồng luân với một điểm (contractible) thì không có kiểu đồng luân của một không gian topo hữu hạn.

+ Chỉ ra một mô hình đồng luân yếu tối tiểu cho mặt cầu $n$ chiều, $S^{n}$ chỉ gồm $2n+2$ điểm hơn nữa mọi mô hình đồng luân yếu của $S^{n}$ có ít nhất $2n+2$ và sai khác một đồng phôi thì chỉ có một mô hình $2n+2$ điểm.



Điểm quan trọng của lý thuyết về không gian topo hữu hạn là sự tương ứng với các tập sắp thứ tự bộ phận và khái niệm điểm beat bao gồm beat down và beat up.

Định lý $1$: Cho $Y$ là một không gian topo liên thông, tách được $T_{1}$ và không đồng luân với một điểm khi đó $Y$ không có kiểu đồng luân của bất cứ một không gian hữu hạn nào.

Chứng minh:

Ta gọi lõi của $Y$ là không gian gồm các điểm thuộc $Y$ nhưng đã bỏ hết đi các điểm beat. Lõi của một không gian xác định duy nhất sai khác một đồng phôi và cùng kiểu đồng luân với không gian gốc. Gọi $X$ là một không gian hữu hạn cùng kiểu đồng luân với $Y$, khi đó $Y$ cùng kiểu đồng luân với $X_{c}$ là lõi của $X$. Gọi $f: X_{c} \to Y$ là một đồng luân như vậy với đồng luân ngược là $g$. Khi đó $gf \cong id_{X_{c}}: X_{c} \to X_{c}$ nhưng $X_{c}$ là không gian tối tiểu (không có điểm beat) nên $gf = id_{X_{c}}$. Như vậy $f$ là đơn ánh nên từ tính $T_1$ của $Y$ ta suy ra $X_{c}$ là $T_1$, nói riêng rời rạc nên $X$ là hợp rời các không gian contractible. Nhưng do $Y$ là liên thông nên $X$ là contractible, nên $Y$ contractible. (vô lý)

Từ định lý trên ta thấy việc tìm kiếm kiểu đồng luân của các không gian đồng luân không tầm thường là bất khả thi. Nên ta giảm điều kiện xuống tìm đồng luân yếu.

Định nghĩa $1$: Với mỗi một không gian $Y$ nếu có một không gian hữu hạn $X$ mà $X,Y$ đồng luân yếu thì ta nói $X$ là một mô hình hữu hạn của $Y$. Hơn nữa nó được gọi là mô hình tối tiểu nếu lực lượng của $X$ là bé nhất trong tất cả các mô hình hữu hạn.

Định nghĩa $2$: Ta định nghĩa nối của hai không gian hữu hạn $X,Y$, kí hiệu $X \circledast Y$ là không gian có tập nền là hợp rời $X \coprod Y$ và bảo toàn thứ tự bộ phận của trên từng thành phần $X,Y$ và để $x \leq y \forall x \in X, y \in Y$. Ta định nghĩa treo - không Hausdorff của $X$ là $\mathbb{S}(X) = X \circledast S^{0}$ với $S^{0} = \left \{a,b \right \}$ là mặt cầu $0$ - chiều.

Định lý $2$: Không gian hữu hạn $\mathcal{S}^{n}(S^{0})$ là một mô hình hữu hạn cho mặt cầu $S^{n}$.

Chứng minh:

Kí hiệu $\mathcal{K}(X)$ là phức thứ tự (xem $[1]$) (order complex) của $X$. Khi đó ta có:
$$\left | \mathcal{K}(\mathbb{S}^{n}(S^{0})) \right | = \left | \mathcal{K}(S^{0} \circledast ... \circledast S^{0}) \right | = \left | \mathcal{K}(S^{0}) \right | * ... *  \left | \mathcal{K}(S^{0}) \right | = S^{n}$$
Trong đó $*$ là nối (xem $[2]$) của hai không gian theo nghĩa topo thông thường. 

Trong bài báo của Peter May - J.P. May. Finite groups and finite spaces. Notes for REU (2003) thì ông dự đoán mô hình này là tối tiểu cho $S^{n}$. Sau đó Barmak đã chứng minh khẳng định này đúng, hơn nữa mô hình tối tiểu này sai khác duy nhất một đồng phôi.

Kí hiệu $ht(X) = \dim \mathcal{K}(X) $ là trọng của $X$, là độ dài dài nhất trong số tất cả các xích (tập săp thứ tự toàn phần) của $X$.

Định lý $3$: Gọi $X \neq pt$ là một không gian tối tiểu (không có điểm beat) khi đó $\left | X \right | \geq 2ht(X)+2$. Hơn nữa khi $X$ có đúng $2ht(X)+2$ thì $X$ đồng phôi với $\mathbb{S}^{ht(X)}(S^{0})$.

Chứng minh:

Gọi $x_0 < x_2 < ... < x_h$ là một xích độ dài $h + 1= ht(X)+ 1$. Do $X$ không có điểm beat nên $x_i$ không là điểm beat với mọi $0 \leq i \leq h$, nói riêng không là điểm beat up nên với mọi $0 \leq i < h$ tồn tại $y_{i+1}$ mà $y_{i+1} > x_{i}$ và $y_{i+1}$ không so sánh được với $x_{i+1}$. Ta sẽ chứng minh:

+ Các điểm $y_1, y_2, ... y_{h}$ phân biệt với nhau và phân biệt với $x_{i}$'s.

Từ đó ta đã có $2h+1$ điểm, nhưng từ việc $X \neq pt$ ta thấy $X$ không thể có điểm cực tiểu (minumum) nếu không $X$ sẽ biến dạng về điểm này, như vậy tồn tại một điểm $y_0$ mà $y_0$ không so sánh được với $x_0$ và hiển nhiên khác các điểm $y_1,... y_h$ nên tổng cộng ta có $2h+2$ điểm. Giờ ta đi chứng minh khẳng định trên.

Do $y_{i+1} > x_{i}$ nên $y_{i+1} > x_{j} \forall j \leq i$. Lại do $y_{i+1}$ không so sánh được với $x_{i}$ nên $y_{i+1} \neq x_{j} \forall j > i$. Tiếp đó nếu $y_{i+1} = y_{j+1}$ với $i < j$ nào đó thì $y_{i+1} \geq x_{j} \geq x_{i+1}$ vô lý do $y_{i+1}$ không so sánh được với $x_{i+1}$. Khẳng định được chứng minh.

Bây giờ giả sử $X$ có đúng $2h+2$ điểm, theo xây dựng trên ta có:
$$X = \left \{x_0, x_1, ... x_h, y_0, y_1, .... y_h \right \}$$
Ta sẽ chỉ ra đây chính là mô hình của $\mathbb{S}^{h}(S^{0})$ nên hiển nhiên nó sẽ đồng phôi. Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $j$ rằng:

+ $y_{i} < x_{j}. y_{i} < y_{j} \forall i < j$.

Với $j = 0$ khẳng định là tầm thường. Giả sử khẳng định đúng với $0 \leq j = k < h$. Do $x_{k+1}$ không là điểm beat dưới (down beat) nên tồn tại $z$ mà $z < x_{k+1}$ và $z$ không so sánh được với $x_k$. Do $y_{k+1}$ và $x_{k+1}$ không so sánh được nên $z \neq y_{k+1}$. Giả sử $z$ khác $y_k$ như vậy xảy ra hai trường hợp $z = y_{i}$ với $i > k+1$ hoặc $ i <  k$:

+ Nếu $i > k + 1$ thì $x_{i-1} \leq z = y_{i} < x_{k+1}$ nhưng điều này vô lý do $i > k+1$.

+ Nếu $i < k$ thì theo quy nạp ta có $y_{i} < x_{k}$ nhưng điều này là vô lý do $z = y_{i}$ không so sánh được với $x_k$.

Như vậy $z = y_k$, từ đó suy ra $y_{i} < x_{j} \forall i < j$. Trường hợp $y_{i} < y_{j}$ hoàn toàn tương tự và ta kết thúc chứng minh vì mô hình này chính là mô hình của $\mathbb{S}^{ht(X)}(S^{0})$.

Định lý $4$: Mọi không gian hữu hạn có cùng nhóm đồng luân với $S^n$ có ít nhất $2n+2$ điểm. Hơn nữa $\mathbb{S}^{n}(S^{0})$ là không gian duy nhất gồm $2n+2$ điểm có tính chất này.

Chứng minh:

Gọi $X$ là một không gian như vậy với lực lượng nhỏ nhất như vậy, do $\pi_{k}(X) = \pi_{k}(S^{n})$ nên $X$ là $T_0$ và không có điểm beat. Theo định lý Hurewicz thì:
$$H_n(\left | \mathcal{K}(X) \right |) \cong \pi_n (\left | \mathcal{K}(X) \right | ) \cong \pi_n(S^n) \cong \mathbb{Z} \neq 0$$ 
Từ đó ta có $ht(X) = \dim \mathcal{K}(X) \geq n$ nên theo định lý $3$ ta có $\left | X \right | \geq 2n+2$. Phần còn lại của định lý là tầm thường.

Tham khảo:

Thứ Bảy, 3 tháng 11, 2018

Xây dựng của Dress cho dãy phổ Leray-Serre

Prerequisites:

+ Khái niệm dãy phổ.
+ Fibration và Serre fibration.

Bạn đọc có thể tìm ở phần tham khảo ở cuối bài.

Giới thiệu về dãy phổ Serre

Dãy phổ Serre, đôi khi gọi là dãy phổ Leray-Serre để vinh danh công trình sớm của Leray về dãy phổ Leray. Giới thiệu chút về lịch sử, thời tuổi trẻ Serre đã là một tài năng trẻ trong trường của Cartan; thời gian đầu ông làm việc về Topo đại số, giải tích phức nhiều biến và sau đó là đại số giao hoán và hình học đại số, lĩnh vực mà ông đưa ra một số kĩ thuật trong lý thuyết bó và đại số đồng điều. Trong luận văn của Serre ông đưa ra dãy phổ Leray-Serre liên kết với một fibration và cùng với Cartan dùng các không gian Eilenberg-Maclane để tính nhóm đồng luân của mặt cầu. Có lẽ đây là một trong các lý do giúp ông được giải Fields khi chỉ mới $27$ tuổi; tuổi trẻ nhất từ trước đến nay mà một người từng nhận giải Fields.

Dãy phổ Serre có hai phiên bản, đồi điều và đối đồng điều, trong bài viết này mình quan tâm tới đồng điều. Đối đồng điều thì dãy phổ có thêm cấu trúc tích cup; và do vậy có thể dùng để tính vành đối đồng điều.

Định lý 1: (Dãy phổ Serre) Giả sử $F \to E \to B$ là một fibration với $B$ là liên thông đường. Khi đó nếu $\pi_{1}(B)$ tác động tầm thường lên $H_{\bullet}(F,G)$ thì có một dãy phổ $(E^{r}_{p,q},d_{r})$ sao cho:

$i)$ $d_{r}:E^{r}_{p,q} \to E^{r}_{p-r,q+r-1}, E^{r+1}_{p,q}= Ker d_{r}/Im d_{r}$.
$ii)$ Trang giới hạn $E^{\infty}_{p,n-p}$ đẳng cấu với $F^{p}_{n}/F^{p-1}_{n}$ trong một lọc $0 \subset F^{0}_{n} \subset .... F^{n}_{n} = H_{n}(X,G)$ của $H_{n}(X,G)$.
$iii)$ $E^{2}_{p,q} \cong H_{p}(B,H_{q}(F,G))$

Nói cách khác dãy phổ này hội tụ $E^{2}_{p,q} \Rightarrow_{p} H_{p+q}(E)$

Để mình giải thích tác động của $\pi_{1}(B)$ lên $H_{\bullet}(F,G)$. Ta biết rằng với mỗi fibration $\pi:E \to B$ thì các thớ $F_{b}=\pi^{-1}(b)$ là cùng kiểu đồng luân trên mỗi thành phần liên thông đường của $B$. Nói riêng khi $B$ liên thông đường thì các thớ cùng kiểu đồng luân với một thớ cố định $F=F_{c}$. Với mỗi đường $\gamma: [0,1] \to B$ ta có nâng ( lift ) lên một đồng luân $L_{\gamma}: F_{\gamma(0)}\to F_{\gamma(1)}$. Khi ta lấy $\gamma(1)=\gamma(0)=c$ thì tương ứng $\gamma \to L_{\gamma}$ cảm sinh một đồng cấu từ $\pi_{1}(B,c) \to Aut(H_{\bullet}(F,G))$. Đây là một tác động nhóm, dãy phổ sẽ thú vị nếu tác động này tầm thường. Ví dụ trường hợp $\pi_{1}(B,c)=1$

Hệ địa phương

Khi bất cứ ai học đồng điều kì dị $H_{\bullet}(X,\mathbb{Z})$ hệ số trong $\mathbb{Z}$ thì hệ số này là cố định. Hệ địa phương và đồng điều với hệ số trong hệ địa phương là cách mở rộng hệ số một cách liên tục từ điểm này sang điểm khác nhưng vẫn bảo toàn một cấu trúc nhất định.

Định nghĩa 1: Poincare groupoid của một không gian topo $X$ là một phạm trù $\pi(X)$ mà các vật là các điểm của $X$ và với mọi hai điểm $x,y \in X$ ta có:

$$\text{Hom}(x,y) = \left \{\gamma:[0,1] \to X, \gamma(0)=x,\gamma(1)=y \right \} / \sim$$

Trong đó $\sim$ là quan hệ đồng luân đường. (relative homotopic). Như vậy ta thấy nếu $x \in X$ thì $\text{Hom}(x,x)=\pi_{1}(X,x)$ chính là nhóm cơ bản tại $x$.

Định nghĩa 2 : Một hệ các hệ số địa phương của các nhóm abel ( đôi khi còn gọi là phân thớ các nhóm abel ) là một hàm tử từ Poincare groupoid của một không gian Topo vào phạm trù các nhóm abel.

Dĩ nhiên các nhóm abel có thể thay bằng bất cứ phạm trù nào khác. Nhưng ở đây chỉ vậy là đủ. Mệnh đề sau là khá hiển nhiên.

Mệnh đề 1: Nếu $X$ là đơn liên thì mọi hệ địa phương các nhóm abel trên $X$ là đẳng cấu với một hệ địa phương hằng. ( hàm tử hằng )

Lưu ý rằng với mỗi fibration $\pi: E \to B$ ta có một hệ địa phương $\left \{ H_{n}(\pi^{-1}(b)) \right \}$. Điều này sẽ đóng vai trò hệ số trong phần tiếp theo.

Đồng điều với hệ số trong hệ địa phương

Cho trước một không gian Topo $X$ và một hệ địa phương phương $\mathcal{A} = \underline{A}$ trên $X$. Ta muốn xây dựng đồng điều với hệ số trên $\underline{A}$. Thực ra có rất nhiều cách xây dựng bằng phân thớ đôi và cấu trúc vành nhóm nhưng mình không tìm hiểu xa, và điều kiện giả sử cũng mạnh hơn; hơn nữa xây dựng mình trình bày ở đây sẽ tự nhiên hơn, nhắc lại rằng trong đồng điều hệ số cố định ( $\mathbb{Z}$ chẳng hạn ):

$$C_{n}(X,\mathbb{Z}) = \bigoplus_{ \sigma: \Delta^{n} \to X} \mathbb{Z \sigma}$$

Chúng ta sẽ modify định nghĩa này bằng cách:

$$C_{n}(X,\underline{A}) = \bigoplus_{\sigma: \Delta^{n} \to X} A_{\sigma_{0}} \otimes \sigma$$

Trong đó $\sigma_{0}=\sigma(0)$ trong đó $(v_{0},v_{1},...v_{n})=(0,1,...,n)$ là các đỉnh của simplex chuẩn $\Delta^{n}$ trong $\mathbb{R}^{n+1}$. Hơn nữa ta kí hiệu $\epsilon_{i}=\epsilon^{n}_{i}: \Delta^{n-1} \to \Delta^{n}$ là face-map thứ $i$. Tức là nó ánh xạ

$$(x_{0},...x_{n-1}) \mapsto (x_{0},...x_{i-1},0,x_{i},...x_{n-1})$$

Vấn đề duy nhất bây giờ là xác định các ánh xạ biên $\partial$ để $C_{n}(X,\underline{A})$ là một phức ( complex ). Và khi đó ta nghĩa đến $H_{n}(C_{\bullet}(X,\underline{A}))$. Lưu ý rằng ta luôn có:

$$(\sigma\epsilon_{i})(0) = \left\{\begin{matrix}
\sigma(0)=\sigma(v_{0}), i = 0\\
\sigma(1)=\sigma(v_{1}), i > 0
\end{matrix}\right.$$

Và như vậy công thức sau sẽ chứng minh điều đó:

$$d_{n}: C_{n}(X,\underline{A}) \to C_{n-1}(X,\underline{A})$$

$$g \otimes \sigma \mapsto \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}g \otimes \sigma \epsilon^{n}_{i}+ \mathcal{A}(tv_{0}+(1-t)v_{1})(g)\otimes \sigma \epsilon_{0}^{n}$$

Giải thích: Ở vị trí cuối $(i=0)$ chúng ta có đại lượng lạ như vậy vì không giống như $i>0$, ở đây $\sigma \epsilon_{0}$ gửi $0$ tới $\sigma(1)$ nên hệ số $g \in \mathcal{A}(\sigma(0))$ không nằm trong các hệ số của $C_{n-1}$.

Như vậy với một fibration có đồng điều trong hệ địa phương $H_{p}(X,\underline{H}_{q}(F))$.

Xây dựng của Dress cho dãy phổ Serre

Xây dựng này mang sử dụng mệnh đề rằng mọi phức đôi ( double complex ) đều cảm sinh ra hai dãy phổ hội tụ về $H(Tot)$ mà mình đã đề cập ở bài trước. Mục tiêu ta là xây dựng cả hai dãy phổ này rồi thấy rằng một dãy hội tụ thực sự về $H(Tot)$ với $H(Tot)=H(E)$, dãy còn lại ta sẽ chứng minh nó có trang thứ hai là $E^{2}=H(X,\underline{H})$.

Cho một fibration $\pi: E \to B$ với các thớ  $\pi^{-1}(b)=F_{b}$. Trước hết ta phát biểu lại dãy phổ Serre:

Cho $\pi: E \to B$ là một Serre fibration - tức là có tính nâng đồng luân với mọi cube $[0,1]^{n}$. Khi đó có một dãy phổ $\left \{E^{r},d^{r} \right \}$ trong góc phần tư thứ nhất với trang thứ hai $E^{2}_{p,q}=H_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))$ sao cho:

$$E^{2}_{p,q}=H_{p}(B,\underline{H_{q}}(F)) \Rightarrow_{p} H_{p+q}(E)$$
Đặt:

$$\mathcal{S}_{p,q}= \left \{ (\sigma_{p,q}, \tau_{p,q}): \sigma_{p}: \Delta^{p} \times \Delta^{q} \to E, \tau_{p}: \Delta^{p} \to B, \pi \sigma_{p,q} = \tau_{p}pr(\Delta^{p} \times \Delta^{q} \to \Delta^{p}) \right \}$$.

Ở dạng biểu đồ:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
\Delta^{p} \times \Delta^{q} @>{\sigma_{p,q}}>> E\\
@V pr VV @V \pi VV \\
\Delta^{p} @>{\tau_{p}}>> B
\end{CD}$$

Xét hàm tử tự do

$$\mathcal{F}: \mathbb{Sets} \to \mathbb{Ab}$$

$$\left \{ a: a \in I \right \} \mapsto \bigoplus_{a \in I} \mathbb{Z}a$$

Áp dụng hàm tử ta đặt $K_{p,q}= \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q})$ và định nghĩa hai ánh xạ biên:

$$d'_{p,q}: K_{p,q} \to K_{p-1,q}$$

$$(\sigma_{p,q},\tau_{p}) \mapsto \sum_{i=0}^{p}(-1)^{i}(\sigma_{p,q}(\epsilon^{p}_{i} \times id_{\Delta^{q}}), \tau_{p}\epsilon^{p}_{i})$$

$$d''_{p,q}:K_{p,q} \to K_{p,q-1}$$

$$(\sigma_{p,q},\tau_{p}) \mapsto \sum_{j=0}^{q}(-1)^{j+p}(\sigma_{p,q}(id_{\Delta^{p}} \times \epsilon_{i}^{q}),\tau_{p})$$

Bộ ba $(K,d',d'')$ lập thành một phức đôi - double complex. Trong khuôn khổ bài viết này mình sẽ chứng minh rằng dãy phổ thứ nhất $\left \{ ^{I}E^{r},d^{r} \right \}$ có trang thứ nhất $^{I}E^{1}_{p,q}= H_{q}(K_{p,\bullet}) = H''_{p,q}(K)$ ( đồng điều theo các cột ) là đẳng cấu với $C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))$ và xem xét các ánh xạ biên tác động ra sao trên các đối tượng này. Để cho gọn ta kí hiệu  $^{I}E^{r}=E^{r}$.

Ta tách:

$$\mathcal{S}_{p,q} = \coprod_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} \mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p})$$

Trong đó:

$$\mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p})= \left \{ \sigma_{p,q}: \sigma_{p,q}:\Delta^{p} \times \Delta^{q}, \pi \sigma_{p,q}=\tau_{p}pr \right \}$$

Ta nhắc lại rằng nếu $\pi: E \to B$ là một Serre fibration thì $\widehat{\pi}: Map(I^{n},E) \to Map(I^{n},B)$ hoặc $\widehat{\pi}: Map(\Delta^{n},E) \to Map(\Delta^{n},B)$ đều là các Serre fibration. Xét pullback của biểu đồ sau, kí hiệu $F_{\tau_{p}}$ đồng thời là thớ tại $\tau_{p}$:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
F_{\tau_{p}} @>>> Map(\Delta^{p},E)\\
@VVV @V \widehat{\pi} VV \\
\left \{ * \right \} @>j>>Map(\Delta^{p},B)
\end{CD}$$

Trong đó $j(*) = \tau_{p}$. Ta đặt $\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})$ là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ $\Delta^{q} \to F_{\tau_{p}}$. Bằng tính phổ dụng của pullback ta có thể định nghĩa một song ánh từ $\mathcal{S}_{p,q}(\tau_{p}) \to \mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})$

Xét biểu đồ sau:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
F_{\tau_{p}} @>>> Map(\Delta^{p},E) @> \widehat{\pi} >> Map(\Delta^{p},B) \\
@VVV @VVV @VVV \\
F_{\tau_{p}(0)} @>>> E @> \pi >>B
\end{CD}$$

Ánh xạ ở hai cột bên phải gửi mỗi ánh xạ tới giá trị của nó tại đỉnh $0=v_{0}$. Ánh xạ bên trái là phép chiếu tương tự, đồng thời cả ba cột này đều là tương đương yếu. Như vậy $H_{\bullet}(F_{\tau_{p}(0)}) \cong H_{\bullet}(F_{\tau_{p}})$. Giờ ta có một song ánh

$$K_{p,q} = \bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p}))$$

Song ánh này cảm sinh sang một ánh xạ biên:

$$d''_{\tau_{p}}: \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p})) \to \mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q-1}(\tau_{p}))$$

$$l \mapsto \sum_{i=1}^{q}(-1)^{i}l\epsilon^{q}_{i}$$

Đây chính là ánh xạ biên của phức,

$$\begin{align} H''_{p,q}(K) & = \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}(\mathcal{L}_{p,q}(\tau_{p}), d''_{\tau_{p}}))  \\
                                                & = \bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} H_{q}(F_{\tau_{p}}) \\
                                                &  \cong \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(F_{\tau_{p}(0)}) \otimes \tau_{p} = C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F)) \end{align}$$

Như vậy trang thứ hai $E^{2}_{p,q}= H'_{p}H''_{q}(K) = H_{p}(C_{\bullet}(B,\underline{H_{q}}(F)))$

Vấn đề duy nhất là xem đẳng cấu này có tự nhiên không? Tức là biểu đồ sau giao hoán:

$$\require{AMScd}
\begin{CD}
\bigoplus_{\tau_{p}:\Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p}}) @> \cong >> \bigoplus_{\tau_{p}: \Delta^{p} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p}(0)}) \otimes \tau_{p}=C_{p}(B,\underline{H_{q}}(F))\\
@V \overline{d'}VV @V \delta VV \\
\bigoplus_{\tau_{p-1}:\Delta^{p-1} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p-1}}) @> \cong >> \bigoplus_{\tau_{p-1}: \Delta^{p-1} \to B} H_{q}(\mathcal{F}_{\tau_{p-1}(0)}) \otimes \tau_{p-1} =C_{p-1}(B,\underline{H_{q}}(F))
\end{CD}$$

Ánh xạ $\delta$ là ánh xạ biên của đồng điều với hệ số địa phương. Lấy một cycle trong $H_{q}(F_{\tau_{p}})$ là $[l], d''_{\tau_{p}}(l)= 0$  ( $l: \Delta^{q} \to F_{\tau_{p}}$ ). Khi đó đẳng cấu trên thứ nhất trong biểu đồ biến $l$ thành $\widetilde{l} \otimes \tau_{p}$ với $\widetilde{l}: \Delta^{q} \to F_{\tau_{p}(0)}$ mà $\widetilde{l}(x)= l(x)(0)$.

+ Đi theo đường $\overline{d''}$ xuống dưới ta biến $[l]$ thành:

$$[\widetilde{l}\epsilon_{0}]+\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}]$$

Đi dọc đường đẳng cấu ở dưới biến nó thành:

$$[\widetilde{l}_{0}]+\sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \mapsto \sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{i}+ \mathcal{H}(tv_{0}+(1-t)v_{1})([\widetilde{l}\epsilon_{0}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{0}) $$

Ngoài ra:

$$ \delta_{p}([\widetilde{l}] \otimes \tau_{p} )   = \sum_{i=1}^{p}(-1)^{i}[\widetilde{l}\epsilon_{i}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{i}+ \mathcal{H}(tv_{0}+(1-t)v_{1})([\widetilde{l}\epsilon_{0}] \otimes \tau_{p}\epsilon_{0}) $$

Vậy biểu đồ này giao hoán, tức là ta có đpcm.

Một ví dụ mà mình thích!

Ví dụ sau là tính nhóm đồng điều của không gian $\Omega(S^{n})$ với $n \geq 2$, được trang bị compact-open topology. Ta có một fibration $\Omega S^{n} \to P \to S^{n}$. Lưu ý path-space $P$ ở giữa luôn là contractible. Theo dãy phổ Serre và $S^{n}$ là đơn liên khi $n \geq 2$ thì trang $E^{2}_{p,q}$ chỉ khác không tại các cột $p=0,p=n$.

- Ở cột $p=0$ là các nhóm $H_{q}(\Omega S^{n} ,\mathbb{Z})$.

- Ở cột $p=n$ là các nhóm $H_{q}(\Omega S^{n}, \mathbb{Z})$.

Do path-space là contractible nên một lúc nào đó  khi $E^{\infty}$ thì mọi vị trí bằng $0$ trừ $p=q=0$.  Vi phân duy nhất có khả năng khác $0$ là $d_{n}$ nên $E^{2}=E^{3}=...E^{n}$ và $E^{n+1} = ... = E^{\infty}$

Các vi phân sẽ di chuyển theo bảng sau:


Vì các vị trí khác bằng $0$ hết nên trên trang $E^{n}$ chỉ còn lại các vị trí như trên bảng trên. Hơn nữa các vi phân này đều là đẳng cấu. Điều đó chứng minh:

$$H_{k}(\Omega S^{n},\mathbb{Z})= \left\{\begin{matrix}
\mathbb{Z}, \forall n-1 \mid k\\
0, otherwise
\end{matrix}\right.$$

Tham khảo:

[1] Spectral squence, by Allan Hatcher.
[2] A User's guide to spectral sequences, by John McCleary.
[3] http://ghethocly.blogspot.com/2018/10/mot-day-pho-la-mot-oi-tuong-ai-so-nhu.html
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Fibration

Vi phân Kähler

Vi phân Kähler là một phiên bản đối ngẫu của trường vector trong đa tạp và hình học vi phân trong đại số. Từ khái niệm vi phân Kähler ta có ...