Bài đăng

Xây dựng nổ trên đa tạp

Bài viết này giới thiệu biến đổi quadratic hay còn gọi là xây dựng nổ (blowing-up construction) (tại một điểm hoặc ngang một không gian con). Ta biết rằng việc phân loại tất cả các đa tạp phức là bất khả thi trừ trong một số trường hợp cho đường cong. Đây là một kĩ thuật cơ bản để tạo ra một đa tạp mới từ đa tạp cũ, ta có thể nổ tại một đa tạp con của một đa tạp cho trước - nói riêng chỉ nổ liên tiếp tại từng điểm đơn lẻ do đó từ một đa tạp cho trước có vô số cách tạo ra các đa tạp mới. Đặc trưng của xây dựng này là nếu ta nổ ngang một đa tạp con thì phần bù của nó trong đa tạp to sẽ không bị thay đổi. Do đó khi nói tới việc phân loại các đa tạp phức ta thường hiểu là phân loại các đa tạp tối tiểu (minimal), tức là các đa tạp không là nổ của bất cứ đa tạp nào khác.

"This correspondence reflects a basic aspect of the local analytic character of blowups: the infinitesimal behaviour of functions, maps, or differential forms at a fixed point of based manifold is transform…

Định lý Lüroth về tính hữu tỷ của đường cong thuận hữu tỷ

Bài toán Lüroth

Một vấn đề chính trong hình học đại số là phân loại các đa tạp đại số chính xác tới một đẳng cấu. Bước đầu tiên để làm điều này là cố gắng phân loại các đa tạp đại số chính xác tới một tương đương song hữu tỷ. Chúng ta cần tìm hiểu các đa tạp đại số đơn giảnphổ quát nhất, đó là các không gian xạ ảnh. Một đa tạp đại số tương đương song hữu tỷ với một không gian xạ ảnh được gọi là một đa tạp hữu tỷ (rational variety).

Hai đa tạp đại số là tương đương song hữu tỷ khi và chỉ khi trường hàm của chúng đẳng cấu với nhau. Do đó nghiên cứu một đa tạp hữu tỷ tương đương với tìm các đa tạp đại số có trường hàm dạng $k(x_1,...,x_n)$ trong đó $k$ là một trường và $x_i$ là các biến. Tuy nhiên ta có thể làm yếu bài toán này đi:
Cố định một trường $k$

Định nghĩa. Một đa tạp $X$ được gọi là thuận hữu tỷ (unirational variety) trên $k$ là một cấu xạ hữu tỷ áp đảo (dominant rational map) từ một không gian xạ ảnh $\mathbf{P}^n_k \to X$. Bằng cách kéo lùi trường hàm thì việc xét một đa tạ…

Định lý triệt tiêu Serre

Trong thời gian này mình chủ yếu làm việc với các công cụ giải tích và lý thuyết Hodge, nhân dịp đang đọc định lý triệu tiêu Kodaira nên mình quay lại đọc một chút đại số phần cấu xạ xạ ảnh (projective morphism) và phân thớ đường (very) ample. Mình chưa thực sự làm chủ được phần kiến thức này bên đại số nên chỉ dám viết diễn giải lại theo cách hiểu của mình.
$$\left \{\text{phân thớ đường chỉnh hình dương} \right \} \Leftrightarrow \left \{\text{phân thớ đường ample} \right \}$$ Các định nghĩa sau hoàn toàn là từ Hartshorne, nhưng mình muốn ráp nối chúng một cách liền mạch hơn theo ý định của mình đồng thời có chút bình luận về định lý triệt tiêu Serre trong hình học đại số lẫn hình học phức.

Phân thớ đường very ample

Định nghĩa. Một cấu xạ lược đồ $X \to Y$ được gọi là riêng(proper) nếu nó tách được (separated), của kiểu hữu hạn (of finite type), đóng theo nghĩa topo (gửi tập đóng sang tập đóng) đồng thời thay đổi cơ sở (base change) vẫn là một ánh xạ đóng.

Định nghĩa. Cho $Y$ là một…

Định lý triệt tiêu Kodaira-Nakano

Định lý triệt tiêu Kodaira cho ta tiêu chuẩn để đối đồng điều của một đa tạp Kähler với hệ số trên một phân thớ đường chỉnh hình dương (positive line bundle) tự động triệt tiêu. Với những ai quen với khía cạnh đại số thì tính dương đơn giản là ample và very ample, về mặt này người ta có thể chứng minh nó hoàn toàn bằng công cụ đại số.

Định lý (Kodaira). Cho $L$ là một phân thớ đường very ample trên một đa tạp đại số xạ ảnh trơn $X$ (smooth projective variety) trên một trường $k$ đặc số $0$, khi đó $$H^p(X, \Omega^p_{X/k} \otimes L) = 0 \ \text{nếu} \ p + q > n$$ ở đây $\Omega^{\bullet}_{X/k}$ là vi phân Kähler.

Lưu ý rằng định lý này sai cho trường hợp đặc số $p$.

Ban đầu định lý nhúng Kodaira (Kodaira embedding theorem) được chứng minh dựa vào định lý triệt tiêu Kodaira, sau này thì định lý Kodaira đưa ra nhiều ứng dụng thú vị như định lý triệt tiêu Serre, định lý Lefschetz yếu, bổ đề Grothendieck, ...
Trong xuyên suốt bài viết này, ta chỉ xét các đa tạp phức.

Chern Connection
Định lý…

Giả thuyết Hodge và định lý Lefschetz $(1,1)$

Giả thuyết Hodge

Giả thuyết Hodge là một trong bảy bài toán thiên nhiên kỷ, nằm trong hình học đại số. Để tránh đi vào fancy language, mình sẽ phát biểu giả thuyết này một cách ngắn gọn.

Định nghĩa. Cho $X$ là một đa tạp phức và một đa tạp con đóng $Z \subset X$ với đối chiều $p$. Khi đó lớp cơ bản của $Z$, kí hiệu $[Z] \in H^{p,p}(X)$ được xác định duy nhất bởi đẳng thức sau $$\int_X \alpha \wedge [Z] = \int_Z \alpha_{\mid Z} \ \forall \alpha \in H^{2n-2p}(X,\mathbb{C})$$ ta có thể chứng minh rằng $[Z] \in \mathrm{Im}(H^{2p}(X,\mathbb{Z}) \to H^{2p}(X,\mathbb{C})) \cap H^{p,p}(X)$. 

Chú ý. Định nghĩa trên khá giống với lớp cơ bản thực cho đa tạp khả vi mà mình từng viết ở đây.

Một lớp trong không gian $H^{k,k}(X,\mathbb{Q}):= H^{k,k}(X) \cap H^{*}(X,\mathbb{Q})$ được gọi là giải tích nếu nó nằm trong $\mathbb{Q}$-không gian vector sinh bởi các lớp cơ bản của các đa tạp con. Giả thiết Hodge nói rằng mọi lớp trong $H^{k,k}(X,\mathbb{Q})$ là giải tích nếu $X$ là xạ ảnh.

Giả thuyết Ho…

Giới thiệu về lý thuyết Hodge

Ban đầu mình chỉ định blog về metric Fubini-Study nhưng sau thấy hứng thú hơn nên đã viết một blog dài hơn tổng hợp và đưa ra một guidance về lý thuyết Hodge. Bài viết sẽ dễ đọc hơn nếu bạn biết về dạng vi phân phức.

Liên hợp hình thức 

Ta biết rằng trên mọi đa tạp thực $X$ có một phức các dạng vi phân $d: \Omega^{k}(X) \to \Omega^{k+1}(X)$ và do đó mở rộng tự nhiên thành một phức $d: \Omega^k_{\mathbb{C}}(X) \to \Omega^{k+1}_{\mathbb{C}}(X)$ $(\Omega_{\mathbb{C}}(X) = \Omega(X) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$. Nếu $X = M$ là một đa tạp phức thì ta có hai toán tử đạo hàm riêng
$$\partial: \Omega^{p,q} \to \Omega^{p+1,q}, \overline{\partial}:\Omega^{p,q} \to \Omega^{p,q+1}$$ thỏa mãn $d = \partial + \overline{\partial}, d^2 = 0$.

Nếu $(X,g)$ là một đa tạp Riemann thì nó có một dạng thể tích (volume form) $\mathrm{vol}$ và do đó cho ta một định hướng của $X$. Metric $g$ cảm sinh metric trên phức $\Omega^{\bullet}(X)$
$$(\omega, \tau) = \int_X \left \langle \omega, \tau  \rig…

Giới thiệu về lớp đặc trưng

Hình ảnh
Mình đã lờ mờ tiếp cận lý thuyết về lớp đặc trưng từ rất lâu và viết trên blog cũng không ít lần nhưng chưa bao giờ viết một bài giới thiệu cụ thể. Nay minh sẽ viết một bài giới thiệu có lẽ sẽ dễ đọc, ít nhất là với ai biết dạng vi phân là gì và phân thớ vector. Về phân thớ vector, bạn có thể hiểu ta dán một cách hợp lý các phép chiếu $U \times \mathbb{R}^n \to U$ vào với nhau để được một phép chiếu $E \to X$; ở đây $X$ được gọi là không gian nền. Nếu chỉ xét về mặt địa phương của một phân thớ thì phép chiều như vậy làm ta mất khá nhiều thông tin tuy nhiên nếu ta xét tất cả các phân thớ có thể trên một không gian nền thì theo một nghĩa nào đó ta phục dựng lại đủ thông tin về $X$.

Lớp đặc trưng là gì?

Hiểu một cách đơn giản nhất là khi ta quan tâm tới bài toán về trường vector trên đa tạp và tìm các hệ lát cắt độc lập trên một phân thớ hoặc nói dễ hiểu hơn, một phân thớ xoắn tới mức nào? Tức là nó tầm thường tới mức nào? Việc đó cùng với việc tính xem trên một không gian nề…