Bài đăng

Lý thuyết $\mathbb{A}^1$-đồng luân và $K$-lý thuyết đại số

Trong post này mình sẽ định nghĩa một số phạm trù đồng luân ổn định được dùng trong hình học đại số, sau đó formulate $K$-lý thuyết đại số theo ngôn ngữ motivic.Trong bài viết này, $k$ là một trường và $Sm/k$ là phạm trù các $k$-lược đồ trơn, of finite type và tách được. Topo Nisnevich. Cho $X \in \mathrm{obj}(Sm/k)$, một phủ Nisnevich $\mathcal{U} \to X$ là một cấu xạ étale sao cho với mọi mở rộng $F$ hữu hạn sinh như một $k$-đại số, tách được thì ánh xạ trên các $F$-điểm $\mathcal{U}(F) \to X(F)$ là một toàn cấu . Với phủ Nisnevich ta có thể định nghĩa một small Nisnevich site trên $Sm/k$ cũng như $X_{Nis}$. Trong bài viết này về sau, khi nói một không gian, ta ám chỉ một phần tử trong $$\mathrm{Spc}(k) = \mathbf{Sh}_{Nis}(Sm/k,\mathbf{Sets}^{\Delta^{op}}).$$ Nói cách khác, một không gian là một bó trên $Sm/k$ (cùng topo Nisnevich) lấy giá trị trong phạm trù các tập đơn hình. Định nghĩa . Một điểm trong một không gian $X$ là một cấu xạ $\mathrm{Spec}(k) \to X$ trong đó $\ma

Tính hữu hạn chiều của $H^0(X,E)$

Cho $X$ là một đa tạp phức compact, $E$ là một phân thớ chỉnh hình trên $X$, khi đó ta biết rằng định lý phân tích Hodge nói rằng ngoài phân tích Hodge, mỗi đối đồng điều $H^i(X,E)$ đều hữu hạn chiều. Chứng minh phân tích Hodge dựa vào lý thuyết toán tử elliptic, theo mình nhớ mỗi $H^i$ là một không gian con riêng của một toán tử compact trên một không gian Hilbert. Blog này là để chứng minh rằng $H^0(X,E)$ có thể xem như một không gian các hàm khả tích bình phương và chứng minh rằng nó thực ra là một không gian Hilbert hữu hạn chiều (ta có thể làm với $H^i$ nhưng sẽ cần thêm lý thuyết về không gian Frechet) chỉ bằng các kiến thức của hàm chỉnh hình.  Đánh giá địa phương Giả sử $D \subset \mathbb{C}^n$ là một tập mở. Gọi $f = (f_1,...,f_n)$ là một bộ các hàm chỉnh hình trên $D$, ta định nghĩa một chuẩn $L^2$ bởi $$\left \| f \right \|^2_{L^2(D)} = \int_D \sum_{k=1}^n \left |f_k \right|^2 dx_1dy_1...dx_ndy_n,$$ trong đó $z_k = x_k+iy_k$ là tọa độ phức trên $\mathbb{C}^n$. Ký hiệu $L^2(D

Định lý tương ứng Dold-Kan

Hình ảnh
Lâu mình không blog, tuần này lên viện toán cao cấp trình bày seminar nên mình cũng tiện gõ ra luôn để làm tư liệu tham khảo. Bài viết này giả sử bạn đã viết về phạm trù $\mathbf{Ch}_{\geq 0}(\mathbf{Ab})$ là phạm trù các phức không âm; đây là phạm trù mà ta thường làm đại số đồng điều tuy nhiên bài viết này sẽ tìm một phạm trù thay thế cho phạm trù $\mathbf{Ch}_{\geq 0}$. Tập hợp hình  Định nghĩa 1 . $\Delta$ là phạm trù mà các vật là các tập sắp thứ tự toàn phần $[n] = (0 \leq 1 \leq ... \leq n)$, các cấu xạ là các ánh xạ bảo toàn thứ tự $\alpha: [m] \to [n]$, điều này có nghĩa $\alpha(i) \leq \alpha(j)$ nếu $i \leq j$.  Một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu ) trong $\Delta$ được định là ánh xạ bảo toàn thứ tự và là đơn ánh trên tập hợp (tương ứng, toàn ánh).   Định nghĩa 2 . Đối mặt là các cấu xạ $d^i: [n-1] \to [n]$, $0 \leq i \leq n$ cho bởi \begin{equation}     d^i(k) = \begin{cases}         k, & k < i\\         k+1, & k \geq i+1     \end{cases} \end{equation} Về ý ng

Tính đơn liên của $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$

Trong bài này, mình sẽ định nghĩa ngắn về nhóm cơ bản etale và chứng minh tính đơn liên của $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Lấy motivation từ lý thuyết nhóm cơ bản topo, nhóm cơ bản của một không gian chính là nhóm các biến đổi phủ (nếu tồn tại một phủ phổ dụng aka đơn liên) ta sẽ chuyển quan điểm này sang hình học đại số, không gian phủ biểu hiện giống như cấu xạ etale hữu hạn (finite etale). Tuy nhiên không giống như không gian topo thì không có nhiều lược đồ có phủ "phổ dụng", ví dụ $X  = \mathbf{A}^1_{\mathbb{C}}-\left \{0 \right \}$ có tất cả các phủ etale hữu hạn là $t \mapsto t^n$ và không có một phủ etale hữu hạn nào áp đảo hoàn toàn tất cả các cấu xạ này. Cho $X$ là một lược đồ Noether địa phương và liên thông, ta ký hiệu $FEt/X$ là phạm trù các $X$-lược đồ với cấu xạ cấu trúc là etale hữu hạn. Ký hiệu $\overline{x} \to X$ là một điểm hình học và xét hàm tử $$F_{\overline{x}}: FEt/X \to \mathrm{Set}, \ \ Y \mapsto \mathrm{Hom}_X(\overline{x},Y).$$ Một định lý, không dễ

Xuống thang Galois và định lý Hilbert 90

Trong blog này mình trình bày hai phiên bản của định lý Hilbert 90, một phiên bản cho đối đồng điều Galois và một phiên bản cho đối đồng điều etale. Trước tiên ta nhắc lại phiên bản cổ điển của định lý Hilbert 90 với mở rộng đơn sinh. Định lý 1 ( Hilbert 90 ). Cho $E/F$ là một mở rộng đơn sinh với nhóm Galois $G = \left \langle \sigma \right \rangle$, nếu $\mathrm{Nm}_{E/F}(\alpha)=1$ thì $\alpha = \beta/\sigma\beta$.  Ví dụ 2 . Mở rộng bậc hai $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ có nhóm Galois là $\mathbb{Z}/2$ với phần tử không tầm thường là liên hợp $\sigma: a+bi \mapsto a-bi$, chuẩn của một phần tử $a+bi$ là $a^2+b^2$. Như vậy một phần tử có chuẩn $1$ là nghiệm hữu tỷ của phương trình $a^2+b^2=1$. Định lý Hilbert 90 nói rằng tất cả các nghiệm như vậy có dạng   $$\frac{c+di}{c-di} = \frac{c^2-d^2}{c^2+d^2} + \frac{2cd}{c^2+d^2}i.$$ Ở đây chúng ta muốn phát biểu lại dưới ngôn ngữ đối đồng điều  Định lý 3 (Hilbert 90) . Cho $E/F$ là một mở rộng Galois hữu hạn với nhóm Galois $G$ (không nhất

Định lý Auslander-Buchsbaum

Mình gần đây tìm hiểu về vành Cohen-Macaulay, có hai định lý là Rees và Auslander-Buchsbaum (AB for short) là hai kết quả cơ bản ai cũng nên biết trước khi tìm hiểu về module Cohen-Macaulay. Định lý AB nói rằng tổng chiều xạ ảnh và độ sâu của một module $M$ trên vành $R$ luôn bằng độ sâu của chính $R$.  Định nghĩa . Nhắc lại một dãy $x_1,...,x_n$ gọi là $M$- chính quy nếu $x_i$ không là ước của không trong $M/(x_1,...,x_{i-1})M$ và $M/(x_1,...,x_n)M \neq 0$ (một phần tử $r \in R$ gọi là không là ước của không trong $M$ nếu $rm = 0 \Rightarrow m = 0$).  Trong trường hợp ta không đòi hỏi $M/(x_1,...,x_n)M$ thì ta nói dãy $x_1,...,x_n$ là một $M$-dãy yếu . Nếu $(x_1,...,x_n) \subset I$ với $I$ là một ideal của $R$ và không tồn tại $x_{n+1} \in I$ sao cho $(x_1,...,x_n,x_{n+1}) \subset I$ vẫn là một dãy $M$-chính quy thì ta nói dãy $x_1,...,x_n$ là $M$-chính quy cực đại trong $I$.  Định lý của Rees nói rằng mọi dãy chính quy cực đại trong một ideal có độ dài bằng nhau và đây cũng là điểm

Đa tạp đại số rút gọn hình học

Tiếp nối bài viết trước , trong bài này mình sẽ trình bày tiếp về đa tạp đại số rút gọn hình học (geometrically reduced algebraic varieties).  Kiến thức chuẩn bị Cho $k$ là một trường đặc số $p > 0$, $\overline{k}$ là bao đóng đại số của nó. Định nghĩa . Tập $$k^{perf} = \left \{x \in \overline{k} \mid \exists n \geq 0, x^{p^n} \in k \right \},$$ được gọi là bao hoàn hảo của $k$. Kí hiệu $k^{1/p} = \left \{x \in \overline{k} \mid x^p \in k \right \}$. Bổ đề $1$ . Trường $k^{perf}$ là trường hoàn hảo.  Chứng minh . Ta cần chứng minh đồng cấu Frobenius $x \to x^p$ là toàn cấu. Lấy $y \in k^{perf}$, khi đó theo tính đóng đại số, tồn tại $x$ mà $x^p = y$, tuy nhiên do $y \in k^{perf}$ nên $y^{p^n} \in k$ với $n \geq 0$ nào đó, từ đó $x^{p^{n+1}} \in k$ nên $x \in k^{perf}$. Ta có đpcm.  Bổ đề $2$ . Mở rộng $\overline{k}/k^{perf}$ là mở rộng đại số và tách được. Chứng minh . Mở rộng $\overline{k}/k^{perf}$ là đại số là hiển nhiên do mở rộng $\overline{k}/k$ là đại số. Nó là tách được do